位相 第０．５回 写像

位相　第０．５回　写像

 

§１　写像

 

　A、Bを空でない集合とする。Aのどの元に対してBの元を１つずつ対応させる規則が与えられたとき、その規則を集合Aから集合Bへの関数または写像という。fがAからBへの写像であることを、

であらわし、Aをfの始域または定義域、Bをfの終域または値域という。

写像f:A→Bによって、Aの元aにBの元bが対応するとき、bをfによる像といい、b=f(a)で表す。このとき、aをfによるbの原像という。

集合Aから集合Bへの２つの写像fとgは、Aのどのような元aについて常にf(a)=g(a)となるとき、写像として等しいといい、f=gまたはg=fで表す。そうでないとき、f≠gまたはg≠fで表す。

 

　A、B、Cを３つの集合とし、f:A→B、g:B→Cを写像とする。Aの元aにg(f(a))、すなわちaのfによる像f(a)のさらにgによる像を対応させるという規則を考えると、集合Aから集合Cへの写像が得られる。これをfとgによる合成または合成写像といい、で表す。すなわち、

が成り立つ。

 

定理１（結合法則）　写像f:X→Y、g:Y→Z、h:Z→Wの合成写像について、

が成り立つ。

 

 

§２　全射・単射

 

　写像f:A→Bについて、Bのどの元bに対してb=f(a)となるAの元aが存在するとき、fは全射であるといい、Aの元a₁、a₂について、a₁≠a₂ならば常にf(a₁)≠f(a₂)であるとき、fは単射という。写像fが全射かつ単射であるとき、fは全単射であるという。

 

　集合Aが集合Bの部分集合であるとき、Aの各元aに対してとなる写像i:A→Bを包含写像という。とくにA=Bのとき、恒等写像といい、で表す。A≠Bならば、包含写像iと恒等写像は等しくない。なぜならば、対応のさせ方が同じであっても、終域が異なるからである。

 

写像f:A→Bが全単射であれば、Bのどの元bに対してもb=f(a)となるAの元aがただ１つ存在する。そこでb∈Bに対して、b=f(a)となる元a∈Aを対応させることによって、集合Bから集合Aへの写像が定まる。この写像をfの逆変換といい、

で表す。

 

定理２　f:A→B、g:B→Aを写像とする。ならばfは全射で、gは単射である。さらに、であればf、gともに全単射であり、gはfの（fはg）の逆写像である。

 

定理３　写像f:A→B、g:B→Cについて次のことが成り立つ。

（１）　が単射であれば、fは単射である。

（２）　が全射であれば、gは全射であるである。

 

 

§３　像と逆像

 

f:X→Yを写像、A⊂Xを部分集合とする。このときYの部分集合f(A)を

で定義し、fによるAの像という。

f:X→Yを写像、B⊂Yを部分集合とする。このときXの部分集合を

で定義し、fによるBの逆像という。

 

（注意）

と定義する。

 

定理４　f:X→Yを写像、A₁、A₂⊂Xを部分集合とするとき、次が成り立つ。

 

定理５　f:X→Yを写像、B₁、B₂⊂Yを部分集合とする。このとき、次が成り立つ。

 

定理６　f:X→Yを写像、A⊂X、B⊂Yを部分集合とする。このとき、次が成り立つ。

 

定理７　f:X→Yを写像、A₁、A₂⊂X、B₁、B₂⊂Yとする。このとき、次が成り立つ。