位相 第０回 集合

位相　第０回　集合

 

§１　集合

 

ある条件の集まりを集合という。

 

　条件P(x)をみたすxの全体からなる集合Aは、のように表される。このとき、P(x)をみたすxはAの要素あるいは元とよばれる。aがAの元であることを、aはAに属する、aはAに含まれるという、Aはaに含むなどという。xが集合Aの要素であることをx∈AあるいはA∋xで表す。そうでないことをx∉Aで表す。

 

　元を１つも含まないものも集合として考え、これを空集合といい、記号∅で表す。

 

　Aの元がすべてBの元になっているとき、AをBの部分集合という。AがBの部分集合であることをA⊂Bで表し、AはBに包まれる、あるいは、BはAを包むという。

便宜上、任意の集合Aに対して、∅⊂Aと定義する。

 

　A⊂BかつA⊃Bであるとき、すなわちAとBの元がすべて一致するとき、AとBは等しいといい、A=Bで表す。A=BでないことをA≠Bで表す。

A⊂BかつA≠Bであるとき、AをBの真部分集合という。

 

 

§２　集合の演算

 

　２つの集合A、Bについて、Aの元とBの元をすべて寄せ集めてできる集合を、AとBの和集合といい、A∪Bで表す。すなわち、

である。AとBに共通に含まれる元全体の集合を、AとBの共通部分といい、A∩Bで表す。すなわち、

である。また、Aに含まれてBには含まれない元全体の集合を、AとBの差集合といい、A−Bたで表す。すなわち、

共通部分A∩Bが空集合でないときAとBは交わるといい、A∩Bが空集合であるときAとBは交わらないという。AとBが交わらないとき、和集合A∪BをAとBの非交和集合または直和といい、A+Bで表すことがある。

 

定理１　集合A、Bについて次のことが成り立つ。

（１）　A⊂A∪B　　（２）　B⊂A∪B　　（３）　A∪B = B∪A

（４）　A∩B⊂A　　（５）　A∩B⊂B　　（６）　A∩B = B∩A

 

定理２　集合A、B、C、Dについて次のことが成り立つ。

（１）　A⊂CかつB⊂CならばA∪B⊂C

（２）　D⊂AかつD⊂BならばD⊂A∩B

 

定理３（結合法則）　集合A、B、Cについて次のことが成り立つ。

 

定理４（分配法則）　集合A、B、Cについて次のことが成り立つ。

 

問１　A−B=Aとなる必要十分条件は、AとBが交わらない（互いに素である）ことを示せ。

【解】

x∈A−Bとすると、x∈Aかつx∉B。

したがって、

（A−B）∩B=∅

である。

仮定より、A−B=Aだから、

逆に、AとBが互いに素であるとき、

A−B=A

よって、

A−B=Aとなる必要十分条件は、AとBが互いに素である。

（解答終）

 

 

問２　次式はいずれもA⊂Bと同値であることを示せ。

 

§３　補集合とド・モルガンの法則

 

　数学においては、考察の対象となる集合がすべて固定した集合Uの部分集合であることが多い。このようなとき、Uを普遍集合とよび、Uの部分集合Aに対して、U−Aを補集合といい、で表す（註１）。すなわち、

　　（註２）

また、AとBがともにUの部分集合であるとき、

と書くことができる。

普遍集合Uと空集合∅の補集合を次のように定義する。

 

（註１）

高校数学などではAの補集合を記号と表すことがあるが、位相ではを異なる意味で使用するので、混乱を避けるために、以降、補集合をという記号を用いて表すことにする。

 

（註２）

とも書く。

 

定理５（分配法則）

 

定理６（ド・モルガンの法則）

 

 

コメント 2

　ついに位相に手を出しましたね(^^)。
by ddtddtddt (2018-10-05 15:09) 

位相は、２年ほど前から、「やらねば、やらねば」と思いつつ、ずっと、先延ばしにしてきたものなんです。
最近、書くネタに困り始めているので、重い腰をあげて、位相をはじめました。

多変数関数を含む微分積分や解析学などでは、位相なんて知らなくても困ることはないんですけど、これより先に進んだものをやるためには、位相の知識はどうしても必要になってしまう。

というわけで、ねこ騙し数学の将来を見据えて、位相を始めました。

by nemurineko (2018-10-05 19:46)