第７回 集合の内点、内部、外部、境界

第７回　集合の内点、内部、外部、境界

 

を位相とし、AをXの部分集合とする。Aに包まれる開集合全体の和集合をで表わせば、もに属するから、はAに包まれる最大の開集合である。をAの内部または開核といい、の点をAの内点という。

Xの各部分集合をその内部に対応させることによって、Xの冪集合からへの１つの写像が定まる。この写像をの開核作用子という。

 

定理１　の開核作用子は次の性質をもつ。

 

【証明】

（１）　よりXに包まれる最大の開集合はX自身である。

（２）　の定義より明らか。

（３）　はそれぞれAとBに包まれる開集合だからはA∩Bに包まれる開集合であり、一方、はA∩Bに包まれる最大の開集合。よって、

　　

また、はAに包まれる最大の開集合だから、

　　

同様に

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（４）　は開集合だからを包む最大の開集合は自分自身。よって、

　　

（証明終）

 

問　X=｛1, 2, 3｝とし、この密着位相について次の問に答えよ。

（１）　{1｝と｛2, 3｝はXの開集合か。

（２）　｛1}と{2, 3｝の内点を求めよ。

【解】

（１）　だから、｛1｝と｛2, 3｝はともにXの開集合ではない。

（２）　｛１｝に包まれる最大の開集合は空集合∅、｛2, 3｝に包まれる最大の開集合は∅。

よって、

　　

したがって、内点は存在しない。

（解答終）

 

 

を位相空間とし、AをXの部分集合とする。 Aを包むような閉集合全体の共通部分をまたはで表す。自身も閉集合であるから、はAを包む最小の閉集合である。をAの閉包といい、の点をAの触点という。Xの各部分集合にを対応させることによって、Aの冪集合からへの１つの写像が定まる。この写像をの閉包作用子という。

 

定理２　位相空間の閉包作用子は、次の性質をもつ。

 

【証明】

（１）　∅は閉集合で、は∅を包む最小の閉集合。

（２）　定義より明らか。

（３）　はそれぞれA、Bを包む閉集合だからはA∪Bを包む閉集合。一方、A∪Bを包む最小の閉集合はだから、

　　

はA∪Bを包む最小の閉集合であり、したがってAを包む閉集合。

また、はAを包む最小の閉集合だから、

　　

同様に

　　

よって、

　　

ゆえに、

　　

（４）　は閉集合だから、を包む最小の閉集合は自身。したがって、

　　

（証明終了）

 

を位相空間とし、AをXの部分集合とする。Aの補集合の内部をAの外部と言い、で表し、の点をAの外点という。

Aの外部は、Aと交わらない最大の開集合である。実際、はAの補集合の内部だから開集合であり、だから。OをO∩A=∅である開集合とすると、だから、

　　

また、

Aの内点でも外点でもないXの点をAの境界点といい、Aの境界点全体の集合をAの境界といい、やで表す。

距離空間の場合と同様に、

　　

が成り立つ。

Xの点xが集合の触点であるとき、xをAの集積点という。Aの集積点全体の集合を導集合といいで表す。また、の点をAの孤立点という。