今日のアニソン、「冴えない彼女の育て方」から『君色シグナル』 [今日のアニソン]
ED曲は、PVでFullバージョンが出ているようだにゃ。
点と直線、点と平面の距離の公式とラグランジュの未定乗数法 [多変数関数の微分]
点と直線、点と平面の距離の公式とラグランジュの未定乗数法
点と直線の距離の公式
(a,b)≠(0,0)とする。xy平面において点A(x₀,y₀)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の足をHとする。このとき、線分AHの距離dを点Aと直線lの距離といい、
である。
直線l上の点P(x,y)とすると、点Aと点Pとの距離APは
である。
したがって、点Pが直線l:ax+by+c=0上にあるという条件のもとでの
の最小値問題に帰着することができ、その最小値がd²になる。
点Aから直線l:ax+by+c=0におろした垂線と距離は一意的に定まるので、条件付きの最小値（極小値）はただ１つだけ存在する。
そこで、ラグランジュの未定乗数法を用いて、条件付きの極値問題を解くことにする。
とおくと、ラグランジュの未定乗数法より極値をとるx、yは
の解になる。
②と③式より
これを①に代入すると、
よって、
が極小値（最小値）。
したがって、
このようにラグランジュの未定乗数法を用いて点と直線の距離の公式を導くことができる。
なお、（１）は、ラグランジュの未定定数を用いることなく、次のように導くこともできる。
AHとベクトル(a,b)は平行なので、垂線の足Hの座標を(x,y)とすると、
ここで、tは媒介変数（パラメータ）。
(ta+x₀,tb+y₀)は直線l：ax+by+c=0上にあるので、
よって、
点と平面の距離の公式
(a,b,c)≠(0,0,0)とする。xyz空間上の点A(x₀,y₀,z₀)から平面ax+by+cz+d=0におろした垂線の足をHとする。このとき、線分AHの長さを点Aと平面ax+by+cz+d=0の距離といい、
である。
問 (a,b,c)≠(0,0,0)とする。ラグランジュの未定乗数法を用いて、ax+by+cz+d=0という条件で、
の最小値を求めることによって、（２）を導き出せ。
【略解】
とおくと、極値をとる点(x,y,z)では次のことが成り立つ。
②、③、④より
これを①に代入すると、
の時に極小（最小）になるので、
そして、これはAHの距離の平方である。
よって、点A(x₀,y₀,z₀)と平面ax+by+cz+d=0の距離は、
である。
（略解終）
ベクトルを使うならば、例えば、次のように（２）を導くことができるだろう。
(a,b,c)は平面の方程式ax+by+cz+d=0の法線ベクトル。
したがって、A(x₀,y₀,z₀)から平面ax+by+cz+d=0におろした垂線の足をH(x,y,z)とすると、
と(a,b,c)は平行。
よって、
(ta+x₀,tb+y₀,tc+z₀)はax+by+cz+d=0上に存在するので、
したがって、
今日のアニソン、「WORKING!!」から『Colorful Days』 [今日のアニソン]
お前らに問題 位相編 １０月２６日 [位相入門]
お前らに問題 位相編 １０月２６日
Rを実数全体の集合とする。
空間の二つの点
に対して、関数
と定めれば、これは距離の公理
を満たすので、距離（関数）になる。
空間に（１）で与えられる距離を入れた距離空間を
と表すことにする。
d₁の右肩についている(n)はn次元を表すくらいの意味。
特に、n=2のときは、（１）は
となる。（下図参照）
例１ （１）で定められる、(1,2),(2,4)∈R²の２点間の距離は、
である。
また、このとき、通常の距離は
一般に、
さてさて、r>0のとき、
で定義される空間の集合を、点
を中心とする半径rである距離空間の球面と呼ぶことにするにゃ。
特に、n=1のときは、
となり、数直線上の２点a₁−r、a₁+rになる。
「２つの点を球面と呼ぶのか」というクレームが来そうだけれど、定義上これは、点a₁を中心、半径rとする距離空間
の球面
だケロ。
球面という言葉が嫌いならば、超球面という言葉を使ってもいいが・・・。
では、ここで問題。
問 原点(0,0)を中心とし、半径が1である、距離空間
の球面
、すなわち、
を求め、それを図示せよ。
また、
と定義するとき、 
を図示せよ。
さらに、原点(0,0)を中心とする半径1の”普通の”円の内部、すなわち、
と
と
の包含関係を示せ。
要するに、
か
のドッチが成立するか答えよってんだよ。
オレの書いた定義を理解できていれば、高校１年生ですら解ける、教科書の基本問題レベルの問題。
これをできないとは言わせない！！
こんなのはチョロいというヒトは、 
と
の包含関係を答えるにゃ。
ラグランジュの未定乗数法を用いて・・・ [偏微分]
「ラグランジュの未定乗数法」を使って解けという次の問題をたまたま見かけた。
しかも、答が間違っているというオマケ付き(^^ゞ
「たとえ、大学の数学の先生のものであろうと、ヒトの答を迂闊に信じてはいけない」ということを教えるために、その身を犠牲にして、わざわざ間違った答を書いたに違いない！！
定理 ラグランジュに未定乗数法
条件g(x,y)=0のもとで、f(x,y)が極値をとるx、yの値は、
とおいたとき、
の解である。
問題 楕円x²+xy+y²=1/4と原点との最短距離を求めよ。
ラグランジュの未定乗数法を用いれば確かにこの問題は解けるのだけれど、極座標を用いると、次のように簡単に解ける。
【解答例】
とし、楕円x²+xy+y²=1/4に代入すると、
したがって、楕円x²+xy+y²=1/4と原点との最短距離は1/√6。
（解答終）
−1≦sin2θ≦1だから、
したがって、x²+xy+y²=1/4と原点との最長距離は1/√2である。
何もわざわざ難しく解くことはないと思うけれど、ラグランジュの未定乗数法の練習問題ということで・・・。
【別解】
楕円x²+xy+y²=1/4上の点P(x,y)と原点Oとの距離OPとすると、
OP>0だから、OPが最小のときにOP²は最小。
そこで、
とおき、g(x,y)=0の条件下でのf(x,y)の極値を調べる。
とおき、ラグランジュの未定乗数法を用いると、条件g(x,y)=0下でf(x,y)が極値をとる(x,y)は、
②、③が自明解(x,y)=(0,0)以外の解を持つためには、
でなければならない。
λ=2/3のときx=y、λ=2のときx=−y。
x=yとして①に代入すると、
このとき、
y=−xとして②に代入すると
このとき、
x²+xy+y²=1は有界な閉集合でf(x,y)=x²+y²は連続関数なので、最大・最小値が存在し、f(x,y)は
のときに極小かつ最小。
よって、楕円x²+xy+y²=1/4と原点との最短距離は1/√6。
（別解終）
こんな簡単な問題でも、ラグランジュの未定乗数法を使って極値を求めるのはとにかく面倒くさいんだケロ。
問 x²+y²=1のとき、x²+3y²の最大、最小値を求めよ。
【解答例】
x²+y²=1だから
これをx²+3y²に代入すると、
したがって、x=0、y=±1のときに最大値3、x=±1、y=0のとき最小値1である。
（解答例終）
【別解１】
x²+y²=1は単位円なので、円周上の点(x,y)は
と表すことができる。
したがって、
よって、θ=π/2、3π/2のとき、すなわち、x=0、y=±1のとき最大で最大値は3、θ=0、π、すなわち、x=±1、y=0のとき最小で最小値は1。
（別解１終）
【ラグランジュの未定乗数法による略解】
とおき、
②、③の自明解(x,y)=(0,0)は①を満たさないので不適。
②、③が自明解(x,y)=(0,0)以外の解を持つ条件は、
λ=1のとき、③よりy=0。よって、①よりx=±1。
このとき、
λ=3のとき、②よりx=0。よって、①よりy=±1。
x²+y²=1は有界閉集合で、f(x,y)=x²+3y²は連続関数なので、最大値、最小値をもつ。
したがって、x=0、y=±1のとき、f(x,y)は極大かつ最大で、最大値は３。
x=±1、y=0のとき、f(x,y)は極小かつ最小であり、最小値は１。
（解答終）
練習問題２ g(x,y)=x²+y²−1=0の条件下で、f(x,y)=xy+x+yの最大値、最小値を求めよ。
x²+y²=1だから、x=cosθ、y=sinθ（0≦θ<2π）とし、
として解くもよし、
だから、xy+x+yにこれを代入して、最大・最小問題にして解くもよし、
対称性に注目し、u=x+y、v=xyとおき、
として解いてもよい。
ただし、対称性に注目して解くとき、x、yが実数であることから、
という条件がつくことを忘れてはいけない。
円や球が”丸い”と誰が決めた！！ 位相の問題 １０月２５日 [位相入門]
円や球が”丸い”と誰が決めた！！ 位相の問題 １０月２５日
実数全体の集合をRとする。で、空間上の２つの点x、yの座標をそれぞれとし、
とすると、d₀は距離になる。
ここで、
は、
の最大値を表す。
特に、R²空間の場合、
とすると、
例 x(1,3), y(2,5)とすると、
この場合、いわゆる２点間の距離d、つまり、ユークリッド（空間）の距離dは
だにゃ。
この例からわかるように、一般に、d₀(x,y)≠d(x,y)だケロ。
さらに言うと、
という関係が成立するので、
なんて関係が成立する。
問１ （３）が成り立つことを確認せよ。できたら、証明して欲しいところであるが・・・。
ところで、R²空間に（２）式で定義した距離d₀を入れた距離空間を
とする。
で、a∈R²、r>0
とし、これを、ここでは、ひとまず、点aを中心とし半径rのB₀開球とでも呼ぶことにしよう。
（４）という記号に幻惑されてはいけないケロよ。
B₀開球とは、aの座標を(a₁,a₂)、xの座標を(x₁,x₂)とするとき、
一方、R²に通常の距離d、すなわち、
を入れた距離空間を
とする。
a∈R²、r>0として、
を、点aを中心とし半径rのB開球と呼ぶことにしよう。
では、ここで問題。
問２ 次の問に答えよ。
（１） 距離空間〈R²,d₀〉の原点を中心とし半径1のB₀開球、すなわち、
をグラフ用紙に図示せよ。
（２） 距離空間〈R²,d〉の、原点を中心とし半径1のB開球とB₀開球の包含関係を示せ。
要するに、
B((0,0),1)⊂B₀((0,0),1)かB₀((0,0),1)⊂B((0,0),1)のドッチだって訊いているんだ。
こんなのはチョロいというヒトは、さらに、
と
の包含関係を調べるにゃ。
グラフ用紙をつけたので、ここに書き込んで、包含関係を調べるといいと思うケロ。
「円や球は丸い」とは、必ずしも、決まっていないケロよ。
円の定義は、
「同一平面上にある、定点Oとの距離が一定である点の集合」
なんだから。
距離の定義が違えば、円の形も変わるかもしれないにゃ。
偏見を捨てて、定義に沿って考えるんだケロよ。
冷やかしはやめて欲しいケロ [ひとこと言わねば]
問題 実数x、y、zがyz+zx+xy=3を満たすならば、x+y+z≧3またはx+y+z≦−3が成り立つことを示しなさい。
【解答例】
等号が成立するとき、x=y=zだから、yz+zx+xy=3に代入すると、
よって、
（解答終）
【別解もどき】
これをx+y+zに代入し
とする。
f(x,y)が極値をとる点では、
①と②の両辺の差をとると、
x=−yは不適（x+y≠0）なので、x=yでなければならい。
よって、
(x,y)=(−1,−1)、(x,y)=(1,1)のとき極値をとるかどうかの判定をしないといけないのだけれど計算が面倒なので省略するけれど、
(x,y)=(−1,−1)のとき極大、(x,y)=(1,1)のとき極小になる。
云々、うんぬん
（別解終）
このように、２変数関数の極値、最大最小問題に持ち込むことはできるけれど・・・。
真面目にやると、
となり、x+y+z≧３、または、x+y+z≦−３という結果を得ることができる。
ラグランジュの未定定数を用いて、yz+zx+xy=3の下でx+y+zの極値問題に持ち込むなど、ハッキリ言って論外だにゃ。
まるでお話にならないわ。
「この問題は簡単すぎるから」との理由で、次のような注文が来ております。
問題 実数x、y、zがyz+zx+xy=3を満たすならば、
がなりたつM,mが存在することを示せ
【答】
ネムネコは188（嫌や）から、解くつもりはないので、お前ら、この問題を解くにゃ。
そして、解けた奴は、この記事のコメント欄に解答を書き、ネムネコのもとに送信するように。
こういう冷やかしに対応していると、癖になって、こんなのが次々と来るようになるから、「お前、実は、解けないんだろう」と言われようが、オレは絶対に解かないにゃ。
難しすぎるというヒトは、次の問題をやるといいと思うにゃ。
問題 実数x、yがxy=1を満たすならば、x+y≧2またはx+y≦−2が成り立つことを示せ。
今日のアニソン、アリスで『Gravity=Reality』 [今日のアニソン]
気のせいかな思っていたんだけれど、
北海道で冷え込み強まる 帯広で初霜と初氷 #nhk_news https://t.co/1FpQuYV5ng
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年10月17日
新潟の最低気温10.6℃だったというし、寒くて目が覚めるケロよ。
［座屈ってご存知ですか？］ 第３回 [ddt³さんの部屋]
５．座屈方程式の解の解釈
長柱の座屈方程式(14)は、力の釣り合いから導いた釣り合い方程式です。全ての釣り合い方程式には、最小エネルギー原理が対応します。(14)に対応する系のエネルギーは、
と書けます。右辺1項目がゼンマイバネにたまる回転バネのエネルギーを表し、符号も含めた2項目が外力Pのいわゆるポテンシャルエネルギーを表しますが、こいつの出どころはここでは余り気にしないで下さい(^^;)。それより重要なのは、系のエネルギー(20)が最小になる時に、釣り合い方程式(14)が満たされるという事実です。
系のエネルギーとは、外力作用によって系がどれだけ無理して変形したかの指標と考える事が出来ます。それが最小のとき釣り合い形状が得られるという事は、材料は与えられた外力条件に応じて最も楽な姿勢で変形する、と擬人化できます。擬人化は擬人化であって、本当の物理的意味を捉えてない時もありますが、今回は役に立ちます。
(19)から、圧縮力Pが、
ではない時、δ＝0でなければなりません。すなわちu(x)＝0です。つまりPが(21)を満たさない時は、柱は曲がりたくない（曲がらない）のです。それが最も楽だから。
一方Pが(21)を満たす時は、δ≠0「も」可能であり、柱は曲がって「も」良いよと言ってます。柱を構成する材料にとっては、曲がっても曲がらなくても同じくらい楽だ（もしくは苦しい）からです。では曲がる／曲がらないのどちらの状態を、現実の柱はとるのでしょう？。曲がったとしても曲がらなかったとしても釣り合い形状は少なくとも2つある訳で、現実の柱の挙動はどちらかを選択している事になります。材料力学（力の釣り合い）だけではそれが決まらない以上、何かきっかけがなければなりません。
ちなみに(21)を満たす圧縮力Pを座屈荷重といい、通常はPcrで表します。
６．外乱の導入
図-1，図-2を見る限り、たとえP＝Pcrであってもq＝0なら曲がる理由はなさそうです。だって真っすぐ鉛直下向きに圧縮されるだけですから。しかし実現象では、P＝Pcrなら曲がる理由しかない、というのが現実での答えです。
まず図-1では、相場の組み立て誤差から水平材は厳密に水平には必ずならず、親柱は水平材から小さいかも知れないが必ず水平力を受けます。これによって親柱は小さいかも知れないが必ず曲がります。曲がったらPの作用位置が軸線から外れるので、Pによる回転力も加わります。曲がりが小さい間は、この回転力も小さいでしょうが。
親柱だって厳密に垂直に建てれる訳ありません。これによってもさっきと同じ事が起こります。さらに親柱が厳密に真っすぐだという保証だってありません。親柱は最初からそもそも曲がっているかも知れないのです。18世紀の木材柱なら、そんな事は日常茶飯事だったでしょう。現在の鋼製製品にすら製作較差でこういう事は起こり、初期不整といわれます。
僅かかも知れませんが、曲がる理由はまだあります。風吹けば電信柱は揺れますよね？。トラック通れば電信柱は揺れますよね？。けっこう目に見えるくらいに(^^;)。水平方向に揺れるという事は、曲がってるという事です。18世紀にだって風は吹きます。トラックは通らないでしょうが、足場の上で職人達が動き回れば、その振動で親柱は揺れます（だから足場は怖い(^^;)）。
このように現実を見まわしてみると、現実には微小な曲げを伴う圧縮作用しかないのがわかります。このような、理論では無視しうるであろう不慮の作用を、系への外乱と言います。
外乱は微小です。普通は無視できるはずです。はい、普通は無視できます。P≠Pcrの場合、柱は曲がりたくないのです。曲がりたくないので外乱により強制的に曲げられたとしても、概ね(10)に従い曲がった状態からの復元力が働くと考えられます。よって理屈の上では圧縮を受ける柱は、常に微小振動していると考えられます。微小振動するだけなら、真っすぐ圧縮されてるのとほとんど変わりません。
対してP＝Pcrの場合、柱は曲がっても曲がらなくてもどっちでも良く、この世には、曲がるきっかけしかない、のでした(^^;)。なので柱は必ず曲がる釣り合いを選択します。そしてどっちでも良いので、復元力は働きません。ここから最初は小さかった曲がりが増幅されます。
６．座屈現象
一番わかりやすいのは、一端固定－他端自由の柱です。図-5を見れば明らかですよね？。図-5では柱上端は自由，下端は地面の中に根入れされてると思って下さい。こういう場合だって、支持条件に応じた座屈荷重は当然あります。
外乱により曲がり、最初δ0まで柱頭がずれたとします。δ0は微小ですが柱頭にかかる回転力Pcr×δ0は、柱が曲がることによって追加される回転力です。ところが柱は曲げに抵抗せず、復元力は働かないのでした。回転力が追加された以上、柱はより大きく曲がり、δ0＜δ1に達します。
Pcr×δ0＜Pcr×δ1です。より大きな回転力を受けた柱はより大きく曲がり、δ0＜δ1＜δ2に達します。Pcr×δ0＜Pcr×δ1＜Pcr×δ2です。この止める事の出来ないフィードバックδ0＜δ1＜δ2＜・・・によって、曲がり過ぎて柱が折れるという現象が、長柱の座屈です。
外乱は施工誤差や初期不整であったり、風が原因であったり人間の作業振動から生じるので、抜本対策がありません。また座屈現象は自励的なフィードバック過程なので、いったん始まったら止める事も出来ません。この意味で座屈は、やっかいな現象なんです。
７．まとめ
総じていえば、真っすぐ圧縮されるだけなら真っすぐ縮むだけだという直感は、ほとんど正しかった訳です。そうでないのは座屈荷重という「特定の」圧縮力の時だけです。それ以外の全ての圧縮力で、柱は単純に縮むだけです。
逆に言うと、オイラーはとても鋭かったと言えます。(10)の開発者であり(10)の限界を熟知してたからこそ、こういう発想ができたのか？。1.で述べたような事にも気づいていたのか？。
その辺りはわかりませんが、ほとんど難しい計算をすることなく座屈現象の「出だし」を探り当て、「出だし」に「外乱」を結び付けて、定性的には座屈現象の存在を暴いたことになります。これってまるごと2世紀以上も前なんですよね(^^;)。史上初めて明らかになった、構造的不安定性です。でも構造と言ったって、たった一本の棒です。数理ってどこに潜んでいるのか、油断なりませんよね(^^)。
そして2世紀以上前の理論が、多数行われた座屈実験結果も踏まえて現代風にアレンジされ、今でも土木・建築・機械分野では現役の設計基準になっています。オイラーの解析能力は、時代をこえて突出していたと思います。
［付録］
(21)を現在では足場に標準的に用いられる単管パイプ（鋼材）に対して計算してみます。単管パイプはたいてい、
単管パイプ：
φ48.6×2.4
断面積 ：A＝3.483 cm2
断面2次モーメント：I＝9.319 cm4
弾性係数 ：E＝2.1×106 kgf/cm2
鋼材の強度 ：σa＝1400 kgf/cm2
くらいになります。
まず鋼材の材料としての耐荷力Pcは、概ね5トンくらいです。
一方、最低の座屈荷重は(21)でn＝1とし、
なので、Pcr＜Pcとすると、
ですが、
なので、長さ2 m以上の親柱は鋼材の強度で積載可能重量を考えてたら、事故になりかねません。「使用例」の写真を見ればわかるように、高さ2 mの足場なんてすぐ出来ちゃいそうですよね？(^^;)。オイラー先生の見立ては、やっぱり正しいんですよ(^^)。
「神は存在しない」 ホーキング博士、最後の著書出版 CNN [ひとこと言わねば]
「神は存在しない」 ホーキング博士、最後の著書出版 https://t.co/L1hsNqaDsy
— cnn_co_jp (@cnn_co_jp) 2018年10月17日
この主張が正しいかどうかだにゃ。
ライプニッツは、「形而上学叙説」の中で「そうした法則を作ったのだから、神さまはいるにゃ」といった趣旨の内容を主張していたように記憶しているが・・・。
また、スピノザは「神即自然」と言ったケロよ。
ナポレオン皇帝はラプラスに対して、 「お前の書いた本は不朽の大著作だと評判が高いが、神のことがどこにも出て来ないじゃないか」とからかうと、ラプラスは言った。
「陛下、私には神という仮説は無用なのです」
https://goo.gl/dB1NvQ
なになに、「神」の意味が違うって。
そこは突っ込まないお約束だにゃ。
