さらに、位相の確認問題

さらに、位相の確認問題。

 

をXの部分集合の集合（集合族）、すなわち、Xの冪集合の部分集合とする。

が

　

を満たすとき、をX上の位相、Xとの組を位相空間という。また、の要素をの開集合という。

 

位相の定義を再掲したところで、次の問題を解いてもらおう。

 

問　X={1,2,3}とし、次の問に答えよ。

（１）　とするとき、これはXの上の位相か。

（２）　とするとき、これはXの上の位相か。

Xの上の位相でなければ、反例をあげよ。

 

なお、Xの冪（べき）集合とは、Xの部分集合の全てを要素（元）にもつ集合のことで、X={1,2,3}の場合、

である。

記号は要素（元）を持たない集合、空集合を表す。

 

こんな問題はチョロいというヒトは、次の問題にチャレンジする。

 

問題　X={1,2,3}の上の位相を全て求めよ。

 

おそらく、この問題は全滅問題だと思うにゃ(^^ゞ
ネムネコにはその確信がある。
ちなみに、２９種類もあるそうだ。

問の答

 

問　X={1,2,3}とし、次の問に答えよ。

（１）　とするとき、これはXの上の位相か。

（２）　とするとき、これはXの上の位相か。

X上の位相でなければ、反例をあげよ。

【答】

（１）　Xの上の位相である。

（２）　Xの上の位相でない。　（反例）であるが