位相の確認問題

位相の確認問題

 

まずは、用語の復習。

 

をXの部分集合の集合、すなわち、Xの冪集合の部分集合とする。

　　

を満たすとき、をXの上の位相、Xとの組を位相空間という。

位相空間に対して、

（１）　の元を開集合という。

（２）　Xの部分集合Fは、その補集合が開集合であるとき、閉集合という。

（３）　AをXの部分集合とする。Aに包まれる最大の開集合をで表し、Aの内部、または、開核という。の元をAの内点という。

 

X={1,2,3}とすると、この冪（べき）集合は

　　

である。

ここで、とおくと、である。

また、

　　

さらに、I={1,2,3,4,5,6,7,8}とすると、任意のi,j∈Iに関して、

　　

が成立する。

また、とすれば、

　　

が成立するので、は位相空間になる。これをX={1,2,3}の離散位相という。

O₁=∅、O₂={1}、・・・、O₈=X={1,2,3}は、Xの冪集合の元なので、すべて開集合である。

また、たとえば、となるので、{1}は閉集合である。同様に、O₁〜O₈の全ては開集合であると同時に閉集合である。

O₆={1,3}を包む最大の開集合はそれ自身O₆なので、

　　

が成立するので、O₆={1,3}の内点は1、３である。

このことは、O₆は開集合だから開核演算子の公式より、

　　

が成立するので、当たり前といえば当たり前の話。

 

 

問１　X={1,2,3}とし、とする。このとき、次の問に答えよ。

（１）　がX上の位相であることを確かめよ。

（２）　{2,3}がの閉集合であることを示せ。

（３）　{1,3}の開核を求めよ。

（４）　{1,3}の内点を求めよ。

【略解】

（１）　省略

（２）　。よって、{2,3}は閉集合である。

（３）　{1,3}に包まれる最大の開集合{1}。よって、

　　

（４）　（３）より{1,3}の内点は1である。

（略解終）

 

 

問２　Xを空でない集合とし、とする。

（１）　がX上の位相であることを確かめよ。

（２）　の閉集合を全て求めよ。

（３）　X={1,2,3}、とする。A={1,2}のとき、Aの開核を求めよ。

【略解】

（１）　省略

（２）　∅、X

（３）　A={1,2}に包まれる最大の開集合は∅。したがって、

　　

よって、内点は存在しない。

（略解終）