お前らに問題 １０月３０日

お前らに問題　１０月３０日

 

ものすごく簡単な問題だと思うのだけれど、お前らに問題。

 

問題

同一平面上に点Oを中心とする円Oと円Oの外に点Aがあるとする。

このとき、円周上の点Pと点Aの線分APの長さが最短になるのは、図のように点Oと点Aを結ぶ線分OA上に点Pがある場合であることを証明せよ。

 

 

Oの座標を(0,0)、円Oの半径をr>0、さらに、Aの座標を(a,b)、さらに円周上の点Pの座標を(x,y)とすると、x²＋y²−r²=0の制限下で

　　

の最小値を求める問題になる。

そこで、

　　

あるいは、

　　

ただし、a²+b²>r²として、ラグランジュの未定乗数法を用いて、最小値を求めるもよし、

　　

として、

　　

から、線分APの最小値を求めるもよし、

どのような方法を用いようがお前らの自由。

 

とにかく、この問題を解くにゃ。

 

まっ、上の図にほとんど答えを書いてあるようなもんなんだけれど(^^)
なのだけれど、この手の図形の論証問題は苦手というヒトが多いのも事実。下の動画のように、お手上げのヒトも多いのかもしれない（笑）。

初等幾何で解くつもりならば、きちんと証明するように。
そして、できた奴は、コメント欄に解答を書いて送信すること。

コメント 3

　幾何的でもなく解析的でもなく、位相的に・・・(^^;)。

　Qは円周上にあるので、OQの長さは変わらない。従ってQAの長さが最小の時、OQAの長さも最小になり、逆も真。

　三角不等式より常に、

　　OPA≦OQ＋QA＝OQA

　従ってOQAの最小値はOPA。先の事情により、QAの最小値はPA（ＱがPに一致した時）。

　・・・駄目？(^^;)。
by ddtddtddt (2018-10-31 11:56) 

これは、実質、幾何的な証明ですよ(^^)

線分OAと円Oの交点P異なる円O上の点Qが、AOの延長線上にある（点Qが点Oに関Pと対象の位置にある）場合は分けた方がいいんじゃないですか。

あと、証明すべきことは、
　AP＜AQ
ですよ。
by nemurineko (2018-10-31 12:17) 

付け足し。

「Qは円周上にあるので、OQの長さは変わらない。従ってQAの長さが最小の時、OQAの長さも最小になり、逆も真」
があるから、
　AP<AQ
を証明していることになるか(^^ゞ


by nemurineko (2018-10-31 12:19)