多変数関数の極値の復習

多変数関数の極値の復習

 

極大値、極小値の定義

関数f(x,y)に対して、あるδ>0があって

　　

が成り立つときf(x,y)は点(a,b)で極大であるといい、f(a,b)を極大値という。

また、

　　

が成り立つとき、f(x,y)は点(a,b)で極小といいf(a,b)を極小値という。

さらに、極大値と極小値をあわせて極値という。

 

例１　f(x,y)=x²+y²は、(0,0)で極小で、極小値は0。また、g(x,y)=−x²−y²は、(0,0)で極大、極大値は0。

 

定理１　f(x,y)は点(a,b)で極値をとり、(a,b)で偏微分可能であるとき、

　　

が成り立つ。

 

例２　f(x,y)=x²+y²とすると

　　

である。極値をとる点の座標を(a,b)とすると、

　　

より(a,b)=(0,0)でなければならない。

f(x,y)=x²−y²とすると、

　　

もし、f(x,y)=x²−y²が点(a,b)で極値をとるとすれば、

　　

より、(a,b)=(0,0)となるが、f(x,y)=x²−y²は極値を持たない。

偏微分可能な関数f(x,y)が点(a,b)で極値がとるために、

　　

は、十分な条件ではなく、必要な条件であることに注意。

 

停留点の定義

関数f(x,y)は偏微分可能であるとする。このとき、

　　

を満たす点(a,b)を停留点という。

 

例３　点(0,0)は、関数f(x,y)=x²+y²、g(x,y)=x²−y²の停留点である。

 

定理２　（極値をとるための十分条件）

f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、

　　

であるとする。

また、

　　

とする。

（ⅰ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小

（ⅱ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大

（ⅲ）　D<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない

（ⅳ）　D=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない

 

例４　f(x,y)=x²+y²とすると、点(0,0)はf(x,y)の停留点である。

また、

　　

だから、

　　

よって、定理２より、f(x,y)=x²+y²は、点(0,0)で極小。

g(x,y)=x²−y²とすると、点(0,0)はg(x,y)の停留点。

また、

　　

よって、

　　

したがって、定理２より、g(x,y)=x²−y²は点(0,0)で極値をとらない。

 

ヘッセ行列とヘッシアン

f(x,y)をC²級の関数とする。このとき、

　　

をヘッセ（Hesse）行列といい、ヘッセ行列の行列式

　　

をヘッシアン（Hessian）という。

 

ヘッシアンを用いると、定理２は次のように書き換えることができる。

 

定理２’　（極値をとるための十分条件）

f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、

　　

であるとする。

f(x,y)のヘッシアンを

　　

とすると、

（ⅰ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小

（ⅱ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大

（ⅲ）　H(a,b)<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない

（ⅳ）　H(a,b)=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない

 

 

問１　f(x,y)=−x²+xy−y²+xの極値を求めよ。

【解】

　　

よって、停留点は

　　

を解くことによって求められる。

この解は(x,y)=(2/3,1/3)なので、f(x,y)の停留点は(2/3,1/3)の１つ。

　　

したがって、点(2/3,1/3)におけるヘッシアンは

　　

だから、f(x,y)は点(2/3,1/3)で極大で、極大値は

　　

（解答終）

 

（別解）

　　

よって、f(x,y)は(2/3,1/3)で最大（極大）で、最大値（極大値）は1/3。

（別解終）

 

 

問２　f(x,y)=x³+y³−3xyの極値を求めよ。

【解】

まず、f(x,y)=x³+y³−3xyの停留点を求める。

　　

①より、y=x²。これを②に代入すると、

　　

したがって、f(x,y)の停留点は(0,0）、(1,1)である。

　　

だから、

　　

よって、f(x,y)は停留点(0,0)で極値をとらない。

　　

したがって、だから、f(x,y)は停留点(0,0)で極小で、f(1,1)=−1が極小値である。

（解答終）