第６回 位相空間

第６回　位相空間

 

Xを空でない集合とする。Xの部分集合の族（Xの冪集合の部分集合）が次の３つの条件を満たすとき、集合Xの位相であるという。

　　

位相が与えられた集合Xを位相空間といい、で表す。の元を位相空間の開集合という。

 

（注意）

　条件[O₁]、[O₂]、[O₃]はn次元ユークリッド空間の開集合系と距離空間の開集合系がみたしている条件である。

 

例１　は明らかに集合Xの位相の１つである。この位相を離散位相といい、位相空間を離散空間という。もXの位相の１つである。この位相を密着位相といい、を密着空間という。

 

例２　n次元ユークリッド空間の開集合系はの１つの位相である。この位相を通常の位相という。

 

例３　を距離空間とする。の開集合系はXの１つの位相である。この位相をdによって定まる距離位相という。集合X上の位相が１つの距離位相に一致するとき、この位相は距離化可能であるという。

 

例４　を位相空間とし、AをXの空でない集合とする。

Aの部分集合を

　　

と定めると、はAの位相になる。この位相をXによるAの相対位相といい、位相空間を位相空間の部分空間という。

【証明】

[O₁]　であることは明らか。

[O₂]　とすると、

　　

となるが存在し、

　　

[O₃]　だから、

　　

（証明終）

 

 

問題１　Xを集合とする。

　　

とすると、はXの位相となることを示せ。（これを補有限位相という）

【証明】

[O₁]　だからは有限集合。よって、。また、。

[O₂]　とする。A₁、A₂が空集合の場合、。

どちらも空集合でない場合、はともに有限集合。よって、も有限集合。したがって、

　　

[O₃]　とする。

すべてのλ∈Λに対して、ならば。

λ₀∈Λに対しては有限集合。

　　

であるから、は有限集合。

（証明終）

 

問題２　を位相空間、Yを集合、f:X→Yを写像とするとするとき、

　　

とおくと、これはYの上の位相となることを示せ。

【略証】

[O₁]　より

[O₂]　より、ならば

[O₃]　ならば

　　

が和集合について閉じているので、

よって、はY上の位相である。

（略証終）

 

Xを集合をXの位相とする。であるとき、位相は位相より弱い、または、粗い、あるいは、はより強い、または、細かいという。

したがって、密着位相は最も弱く、離散位相は最も強い位相である。

 

を位相空間とする。集合Xの部分集合は、その補集合がに属すとき、位相空間の閉集合という。

 

定理　は次をみたす。

　　

 

問　X=｛1, 2, 3｝とするとき、次の問に答えよ。

（１）　Xの冪集合を求めよ。

（２）　位相空間の開集合{1}の補集合を求め、それがの閉集合であると同時に閉集合であることを確かめよ。

（３）　位相空間の開集合はすべて同時にの閉集合であることを確かめよ。