第４６回 ベータ関数の定積分への応用

第４６回　ベータ関数の定積分への応用

 

 

ガンマ関数

　　

ガンマ関数の性質

　　

特に、nが自然数のとき

　　

また、

　　

 

ベータ関数（Β関数）

　　

ベータ関数とガンマ関数

　　

とくに、m,nが自然数のとき

　　

 

 

問１　ベータ関数を利用して、次の定積分の値を求めよ。

【解】

（１）

　　

 

（２）

　　

だから

　　　　

また、

　　

したがって、

　　

 

（３）

　　

さて、

　　

だから、

　　

（解答終）

 

 

問２　と置換し、ベータ関数を利用して、次の定積分の値を求めよ。ただし、b>aとする。

【解】

とおくと、x=aはt=0、x=bはt=1に対応し、dx=(b−a)dtになる。

したがって、

　　

 

（１）はp=2、q=2の場合なので、

　　

 

（２）はp=2、q=3のときなので、

　　

 

（３）はp=q=2/3の場合なので、

　　

（解答終）

 

 

さて、ベータ関数

　　

は、 x=sin²tと置くと、x=0はt=0、x=1はt=π/2に対応し、となるので、

　　

したがって、

　　

である。

特に、m、nを自然数とすると、

　　

 

問３　ベータ関数を用いて、次の定積分の値を求めよ。

【解】

（解答終）