お前らに質問（１１月７日 微分可能）の解答？ [お前らに質問]
お前らに質問（１１月７日 微分可能）の解答？
問題 関数f(x)を次のように定義する。
このとき、f(x)は点x=0で微分可能か。また、点x=0以外の点ではどうか。
【解答？】x≠0のとき、
ゆえに、
よって、点x=0でf(x)は微分可能。
a≠0とする。
aを有理数、xを無理数とし、xをaに限りなく近づけると、
となるので、点aでf(x)は連続でない。
aを無理数、xを有理数とし、xをaに限りなく近づけると、
となるので、点aでf(x)は連続でない。
したがって、a≠0のとき、f(x)は点x=aで連続でないことになり、よって、f(x)は点x=aで微分可能でない。
（解答？）
定理 f(x)が点aで微分可能ならば、f(x)は点aで連続である。
【略証】
（略証終）
この定理の対偶をとれば、
f(x)が点aで連続でないならば、f(x)は点aで微分可能でない
a≠0のとき、問題の関数f(x)が点aで微分可能でないことをことを、微分の定義から直接証明（説明？）するのは、ちょっと、冗漫になるので、上の定理を使ったにゃ。
極限を表す記号「→」を使っちゃっていいのかという微妙な問題があるけれど、この点は、目を瞑って欲しいにゃ。
みんな大好き、ε−δ論法（いぷしろん−でるた論法）を使うと、上の解答は次のようになる。
【ε−δ論法を用いた解答例】
任意のε>0に対して、δ=ε>0にとると、
よって、f(x)は点x=0で微分可能で、f'(0)=0。
a≠0とする。
aを有理数、xを無理数とすると、
a²=ε>0とすると 、δ>0をどんなに小さくしても、
となる無理数xが存在するので、aが有理数のとき、f(x)は点aで連続でない。
次に、aを無理数、xを無理数とすると、
a²=ε>0とすると 、δ>0をどんなに小さくしても
となる有理数xが存在するので、aが無理数のとき、f(x)は点aで連続でない。
したがって、f(x)が、a≠0のとき、任意の点aで連続でないので、f(x)は点x=0以外で微分可能でない。
（解答終）
上の解答の後半がわからないって？
f(x)が点aで連続であるとは、
とかになるので、これを否定すると、
すなわち、
ある正数ε>0が存在し、δ>0をどんなに小さくしても、
であるxが存在するとき、f(x)は点aで連続でない
となるからだよ。
命題「pならばq」は
だから、「pならばq」を否定すると
になる。
したがって、
の否定は、
だケロ。
じゃないので、注意するにゃ。
それはそれとして、
とした方が簡単で良かった、と、しきりに反省するネムネコであった。
関数の微分可能性ってのは局所的な性格。
だから、必ずしも、点aの近傍でf(x)が連続である必要はなくて、この問題のように、点aの一点のみでf(x)が連続であるときに、点aで微分可能ってこともあるんだケロよ。
このことを知っていたケロか。
