お前らに質問（１１月２０日 円の方程式）

お前らに質問（１１月２０日　円の方程式）

 

 

今回は、

ネコにも劣る知能と思考力しか有さないと噂される、お前らに、超〜簡単な問題を出すにゃ。

 

 

問題　a≠0とする。点(0,a)を中心とし、x軸に接する円の方程式を求め、それを極座標表示の方程式（極方程式）に書き換えよ。

いくら⑨のお前らでも、この問題ならば解けるだろう。

 

 

まぁ、この場合、下図に示す幾何学的な関係から、極方程式を直接導くこともできるんですがね。

 

 

ただし、これはa>0で、かつ、0<θ<π/2のときだケロ。

a>0で、π/2<θ<πのとき、導いた関係が成り立つかどうかはわからない。

まして、a<0のときは言わずもがな。

 

と、図を新たに追加し、ネムネコは、お前らを惑わすのであった(^^)。

 

 

高校の数学Ⅲで極座標について習っているはずだから、極座標についての説明は不要だよな。

 

などと偉そうなこと言っていますが、実は、ネムネコ、極座標の正確な定義を知らないので、説明できないのだった。

だって、オレが高校生だった頃、数学のカリキュラムに極座標は入ってなかったにゃ。

そして、大学に入って、解析（微分積分）の時間に、

いきなり、xとyを実数とするとき――より正確に書けば、(x,y)∈R²――

　　

という対応関係から定まるr（≧0）とθの組を(r、θ)で表す。

すなわち、

　　

あるいは、

　　

みたいに始まり、そして、これだけで終わった。

 

実は、公式（２）、（２’）すら大学の数学の講義で習っていない(^^ゞ。

　――「こんなことは、定義から明らかで、わざわざ講義で教える必要はないし、講義でこんな自明なことを話す時間的余裕なんて無い！！」ってわけか(・・?――

そして、こんにちに至る。

 

複素関数のガウス平面表示、そして、オイラーの公式

　　

なんての出てきたけれど、これとて、「こういう関係がある」（「このように定義する」）の一瞬で終わってしまった。

 

だから、ネムネコは、極座標について説明できないにゃ。

 

 

 

ついでだから、もうひとつ問題。

 

問題２　点(a,b)を通り、x軸となす角がαである直線の極方程式を求めよ。

 

 

ネムネコは、優しいから、絵をプレゼントしたにゃ。

ただし、惑わしかもしれないので、注意が必要だにゃ。

 

あと、αが９０度、すなわち、α=π/2のとき、注意すること。

α≠π/2のとき、直線lの傾きはtanαだから、デカルト直交座標系における直線lの方程式は・・・。そして、求めた式にを代入し、rについて解けば・・・。

α=π/2のときは、え〜と、え〜と…

 

 

と、錯乱するのであった！！

 

この他にもトラップ、罠が仕掛けられているかもしれないので、注意したほうがいいケロよ。

 

 

たとえば、

　　

のときは、どうなるのかとか(^^)。

このときは、どのような場合だにゃ。

 

 

第５０回 極方程式で表された曲線の面積

第５０回　極方程式で表された曲線の面積

 

 

定理　（極方程式で与えられた図形の囲む面積）

曲線Cが極座標を用いてr=f(θ)（α≦θ≦β）と表されていて、f(θ)は連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれる部分の面積Sは

　　

である。

【証明】

閉区間[α,β]の分割

　　

をとり、曲線r=f(θ)と半直線に囲まれた微小部分を扇型で近似すると

　　

仮定より、f(θ)は[α,β]で連続なので、も[α,β]で連続。

したがって、｜Δ｜→0のとき、

　　

に収束する。

よって、

　　

（証明終）

 

 

 

問題１　次の方程式で表される曲線の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

r≧0だから、a>0のとき−π/2≦θ≦π/2、a<0のときπ/2≦θ≦3π/2。

したがって、

a>0のとき、この曲線が囲む面積Sは

　　

a<0のとき

　　

よって、

 

 

（解答終）

 

この曲線は、点(a,0)を中心とする半径｜a｜>0の円だから面積S=πa²！！

また、この曲線は、x軸に関して対称なので、この曲線の第１象限における面積を２倍することによって面積を求めることもできる。

すなわち、a>0のとき、

　　

また、a<0のときの曲線は、y軸に関してa>0のときの曲線に対称だから、その面積は等しい。

問題２　カージオイドの面積を求めよ。ただし、a>0とする。

【解】

r≧0だから、0≦θ≦2π。

よって、

　　

 

 

（解答終）

 

カージオイドはx軸に関して対称なので、対称性に注目し、

　　

と計算してもよい。

 

 

問題３　a>0とするとき、次の曲線（４葉線）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

の両辺を２乗すると、

　　

曲線の対称性から、第１象限で囲まれた図形の面積を４倍すればよい。

したがって、求める面積Sは

　　

 

 

（解答終）

 

 

問題４　a>0とするとき、次の曲線（レムニスケート）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

を代入すると、x²+y²=r²だから、

　　

r²≧0より、cos2θ≧0。

よって、−π≦θ≦πとすると、。

図形の対称性から第１象限で囲まれた部分の面積を４倍すればよい）。

　

（解答終）

 

 

問題５　a>0とするとき、次の曲線（デカルトの葉線）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

を代入すると、

　　 

よって、求める面積Sは

　　

ここで、t=tanθとおくと、で、θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応するので、

　　

（解答終）

 

デカルトの葉線は直線y=xに対称なので、

　　

ここで、t=tanθとおくと、で、θ=0→t=0、θ=π/4→t=1に対応するので、

　　

としたほうがいいのだろう。

 

問題５の解答では、

「θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応する」にすこし”やましさ”がある。

正しくは、「θ=0→t=0、θ=π/2−0→t→∞に対応する」とすべきところだから。

 

y=xに関して対称なのは、x³+y³=3axyのxとyをyとxに入れ換えても同じ式になることからわかる。