お前らに質問（１１月１０日 積分の不等式）の解答かも

お前らに質問（１１月１０日　積分の不等式）の解答かも

 

 

問題　a>0、b>0とするとき、次の不等式が成立することを示せ。

　　

また、等号が成り立つのは、どのような場合か。

【解答】

　　

（解答終）

 

 

ヤングの不等式

a>0、b>0、かつ、

　　

ならば、

　　

を用いるならば…。

 

【別解１】

　　

とおくと、

　　

かつ、a>0、b>0。

よって、ヤングの不等式より、

　　

したがって、

　　

特に、n=1のとき、等号成立はa=b。

（別解１）

 

あるいは、

 

【別解２】

とすると、f(x)は狭義単調増加なので、逆関数

　　

で、また、f(0)=0だから、

　　

が成立する（図を参照）。

ゆえに、

　　

 

（別解２終）

 

 

追加問題　a>0、b>2とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

　　

また、等号が成り立つのは、どのような場合か。

【解答】

　　

ここでとおくと、、a>0、b>0で、

　　

よって、

 　　

（解答終）

 

【別解】

とすると、右図より

　　

したがって、

　　　　

（別解終）

 

ネムネコは、化け猫、ネコマタの類なので、ライオンではないが