お前らに質問（１１月７日 微分可能） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月７日 微分可能）
ちょっと、お前らに質問！！
問題 関数f(x)を次のように定義する。
このとき、f(x)は点x=0で微分可能か。また、点x=0以外の点ではどうか。
こんな関数のグラフ化は不可能なので、参考までに、y=x²とy=−x²のグラフをつけてやるにゃ。
結論を言えば、上のグラフ（？）を見ればわかるように、問題の関数f(x)は、点x=0においてのみで、微分可能であり、連続なんだけどね〜。
このことを示すというか、お前らに、説明して欲しいにゃ。
第４１回 定積分と不等式 その２ [微分積分]
第４１回 定積分と不等式 その２
問１ シュワルツの不等式
f、gは[a,b]で連続ならば
ここで、等号が成立のはαf+βg=0を満たす定数α、β（α²+β²>0）が存在するときに限る。
【証明】
とおく。
A≠0（A>0）のとき、任意の実数λについて
等号成立は、
を満たすλ₀が存在するときで、このとき、g=−λ₀fである。
A=0、すなわち、f=0のとき、
であり、
（証明終）
（註） [a,b]で定義される関数f(x)、g(x)が、任意のx∈[a,b]に対してf(x)=g(x)であるときf=g、また、f(x)>g(x)であるときf>0と表す。
問２ 0<a<bのとき、次の不等式を証明せよ。
【略解】
（１） f(x)=x、g(x)=1/xとおくと、シュワルツの不等式より
（２） f(x)=1、g(x)=1/xとおくと、シュワルツの不等式より
（３） f(x)=√x、g(x)=1/√xとおくと、シュワルツの不等式より
（略解終）
定理
は狭義単調増加で、かつ、f(0)=0とする。
a≧0、b≧0ならば、
等号が成立するのはb=f(a)に限る。
【証明】
はy=f(x)とx=aおよびx軸に囲まれる面積、
はy=f(x)とy=bおよびy軸で囲まれた面積。
したがって、
であり、等号成立はb=f(a)。
（証明終）
問３ （ヤングの不等式）
とする。
a≧0、b≧0のとき、
が成り立ち、等号が成立するのは
のときに限ることを示せ。
【証明】
a≧0、b≧0とし、
とおくと、
また、
であるから、
よって、定理より
等号成立は、
すなわち、のときに限る。
（証明終）
問４ （ヘルダーの不等式）
【証明】
とすると、ヤングの不等式より
これを積分すると、
ゆえに
または
のとき、f=0またはg=0なので、等号が成立する。
（証明終）
