お前らに質問（１１月２１日 数列）

お前らに質問（１１月２１日　数列）

 

 

さてさて、お前らに次の問題を解いてもらおうじゃないか。

 

問題　次のことを示せ。

（１）　x>0のとき

　　

（２）　とするとき、が単調増加数列であることを示せ。

 

ただし、（１）を証明するのに、微分積分の知識を使っちゃ〜ならないものとする。

 

が単調増加数列であることを示すには、２項定理を使って、とをそれぞれ展開した

　　

と、

　　

とを比較し、大小関係を判定するのが一般的で、

を展開した奴は、のそれよりも、第３項以上が大きく、しかも、項数が１つ多いので、

　　

となる。

 

なのですが、

問題の（１）の不等式をうまく活用すると、が単調増加であることを示すことができる。

 

とはいえ、

こんなものはそうそう思いつけるものでないから、心優しいネムネコは例によってヒントを出してやるにゃ、

　　

と置き、あとは、うまく式を変形する。

 

これを思いつくには、ハッキリ言って、電波が必要だね。

 

 

解けた奴は、この記事のコメント欄に回答を書き、ネムネコのところに送信するように！！

 

正しかろうが、間違っていようが、それを清書した上、このブログの記事としてアップするにゃ。

 

 

 

ウォリスの公式

ウォリスの公式

 

 

ウォリスの公式

　　

 

ウォリスの公式を証明する前に、復習を兼ねて次の問題を解くことにする。

 

問題　とするとき、次のことを示せ。

【解】

（１）　とおき、置換積分すると

　　

 

（２）　部分積分を適用すると、

　　

（解答終）

 

問題１の（２）より、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

となり、

　　

なので、

　　

あるいは、

nを正の整数のとするとき、

　　

 

 

問　上の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。

【解】

（解答終）

 

さて、これで準備が整ったので、次に、ウォリスの公式を証明する。

 

ウォリスの公式

　　

【証明】

0≦x≦π/2、nを正の整数とすると

　　

だから、

　　

したがって、

　　

したがって、

　　

が成り立つので、

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

また、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

（解答終）