ウォリスの公式

ウォリスの公式

 

 

ウォリスの公式

　　

 

ウォリスの公式を証明する前に、復習を兼ねて次の問題を解くことにする。

 

問題　とするとき、次のことを示せ。

【解】

（１）　とおき、置換積分すると

　　

 

（２）　部分積分を適用すると、

　　

（解答終）

 

問題１の（２）より、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

となり、

　　

なので、

　　

あるいは、

nを正の整数のとするとき、

　　

 

 

問　上の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。

【解】

（解答終）

 

さて、これで準備が整ったので、次に、ウォリスの公式を証明する。

 

ウォリスの公式

　　

【証明】

0≦x≦π/2、nを正の整数とすると

　　

だから、

　　

したがって、

　　

したがって、

　　

が成り立つので、

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

また、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

（解答終）