お前らに質問（１１月１９日 定積分と面積） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月１９日 定積分と面積）
次の方程式で与えられる楕円があるとする。
この楕円の面積が
であることを、我々は知っているものとする。
と置き、これを（１）に代入すると、
（３）は、極座標を用いて、（１）を書き換えた極方程式だにゃ。
0≦θ≦π/4のとき、これは、デカルト直交座標系でx≧0、y≧0の部分、すなわち、第１象限に該当するので、楕円（１）とx軸、y軸で囲まれた部分の面積は、
になる。
ここで、極方程式で表された面積の公式を用いると、次の関係が成り立つ。
r²は（３）で求めてあるから、これを代入すると、
いっさい、積分の計算をすることなく、
というなんか難しそうな定積分の値を求めたことになる。
ではあるが、お前らには真面目に積分をして、（４）を示してもらおうか。
問題１ 次の関係が成り立つことを示せ。
（４）でもいいのだけれど、数学の本ではコチラの公式（？）の方が多数派のようなので、コッチにしたにゃ。
ヒントを出さないと、お前らは絶対に、この問題を解こうとしないだろうから、
t=tanθとおくと、
になるにゃ。
とすると、
なお、θ=π/2のとき、t=tanθは発散するので、
とするといいにゃ。
もう、答を書いたようなものだが、お前ら、最後までやれよな。
ちなみに、a=bのとき、
だから、
となり、等式が成立していることがわかる。
本によっては、
となっているかもしれないけれど、aとbを入れ替えたものだから、成り立つのは当たり前。
また、t=π/2−θ、すなわち、θ=π/2−tとおくと、
となり、さらに、θ=0→t=π/2、θ=π/2→t=0となるので、
と証明することもできる。
ところで、
a>0とする。点(a,0)を中心とする半径aの円を極座標であらわす、つまり、極方程式で表すと、どうなるか、わかるケロか。
この円は、デカルト直交座標系では、
と表されるので、を代入すると、
これだとθの範囲がよくわからないので――r≧0の条件からθの範囲を求められるが(^^ゞ――、
ここはお絵かきをして、
右の図から
となるけれど、これだと原点（極座標では、原点をr=0と定義）が抜けるので、r=0を追加したおこう！！
そして、
だから、
に拡張しよう！！
「θ=±π/2のときr=0になるケロ」でもいいが・・・。
問題２ 次の極方程式で表される曲線の囲む面積を求めよ。
答は、πa²とわかっているが、
や
を使って、面積を求めてもらおうじゃないか。
ちなみに、半径rで中心角がθの扇型の面積は
これから、極方程式r=f(θ)で表される曲線（α≦θ≦β）と半直線θ=α、θ=βで囲まれた部分の面積は
ってのが何気なくわかるんじゃないかい。
定理 （極方程式で与えられた図形の囲む面積）
曲線Cが極座標を用いてr=f(θ)（α≦θ≦β）と表されていて、f(θ)は連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれる部分の面積Sは
