お前らに質問（１１月６日 極小・極大）

お前らに質問（１１月６日　極小・極大）

 

お前らに微分積分に関する基本事項の質問。

 

問題　関数f(x)は、点aでf'(a)=0、f''(a)>0である。このとき、点aでf(x)は極小ケロか。

また、f'(a)=0、f''(a)<0のとき、点aで、f(x)は極大ケロか。

成り立つならば証明し、成り立たないならば反例をあげよ。

 

念の為、言っておくけれど、

「点aの近傍でf(x)は微分可能である、２回微分可能である」

とは言っていないケロ。

ではあるが、点aにおいて、f(x)が２回微分可能なので、点aの近傍でf(x)が微分可能であることは言わずもがな！！

更にいうと、f'(x)は点aで連続でもあるわな〜。ただし、点aの近傍でが導関数f'(x)が連続であるかどうかはわからない。近傍内の色んな点でf'(x)はブツブツと切れている可能性がある。近傍内で不連続点が６兆個くらいあるかもしれない。

 

 

ひょっとしたら、導関数f'(x)の不連続点は、自然数の個数と同程度の無限個くらいあるかもしれない(^^ゞ。

 

 

このような苛酷な条件（？）――こうした記述は、ただの「惑わし」の可能性大！！――でも、

関数f(x)は、点aでf'(a)=0、f''(a)>0である。このとき、点aでf(x)は極小。

また、f'(a)=0、f''(a)<0のとき、点aでf(x)は極大

は成り立つかと、ネムネコはお前らに問うているんだにゃ。

 

点aの近傍で、f(x)はC²級、すなわち、f''(x)が連続ならば、｜h｜>0が非常に小さいとき、

　　

f'(a)=0から、

　　

f''(x)は点aで連続なので、f''(a+θh)とf''(a)は同符号。

したがって、f''(a)>0ならば、

　　

f''(a)<0ならば、

　　

よって、

　f'(a)=0、かつ、f''(a)>0ならば、f(x)は点aにおいて極小

　f'(a)=0、かつ、f''(a)<0ならば、f(x)は点aにおいて極大

である。

 

とかやれるけれど、ネムネコは、点aの近傍でf(x)はC²級という強い条件を課していない。

それどころか、点aの近傍でf(x)は２回微分可能とも言っていないので、

点aの一点のみでf(x)は２回微分可能で、点a以外でf(x)は２回微分可能でないかもしれない。

 

さらに、念押しするけれど、上の証明（？）では、

f''(x)が点aで連続なので、f''(a+θh)とf''(a)は同符号が成り立つ（下の定理を参照）。

だから、f''(x)が点aで連続でないと、「f''(a+θh)とf''(a)は同符号」とは限らないので注意。

 

 

定理

f(x)が点aで連続、かつ、f(a)>0ならば、f(x)は点aの近傍でf(x)>0である。

【証明】

f(x)が点aで連続なので、任意のε>0に対し、適当なδ>0を定めると、

　　

εは任意の正数なので、とし、これに対してδ>0を定めると、｜x−a｜<δである全てのxに関して、

　　

（証明終）

 

追加問題　次のことを示せ。

　f(x)が点aで連続、かつ、f(a)<0ならば、f(x)は点aの近傍でf(x)<0である。

 

【ヒント】

g(x)=−f(x)とおけば、

g(x)は点aで連続、かつ、g(a)>0となり、上の定理から、g(x)は点aの近傍でg(x)>0。

したがって、・・・。

って、ほとんど、答えじゃないか！！

 

あるいは、

f(x)は点aで連続だから、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在し、｜x−a｜<δである全てのxに関して

　　

εは任意の正数なので、とおき、δ>0を定めると、｜x−a｜<δであるすべてのxに関して

　　

（ヒント終）

 

 

参考までに、必要になるかどうかわからないけれど、ε−δ論法による微分可能の定義を書いておくにゃ。

 

ある実数Aが存在し、任意の正数ε>0に対し、ある正数δ>0が存在し、

　　

が成り立つとき、f(x)は点aで微分可能であるといい、

　　

で表す、みたいな感じ・・・。

 

より厳密に書くと、

ある実数Aが存在し、任意の正数ε>0に対し、ある正数δ>0が存在し、0<｜x−a｜<δを満たすすべてのxに関して、

　　

が成り立つとき、f(x)は点aで微分可能であるという。また、Aを点aにおけるf(x)の微分係数といい、f'(a)で表す。

すなわち、

　　

みたいな感じ。

 

２回微分の定義ならびに、f''(a)の定義は、これを参考に、お前らが考えるにゃ。
自らの翼を広げ、ε−δ論法による２回微分可能の定義を作るにゃ。

 

 

イマジネーションが必要だケロよ。

 

 

有名な、高木貞治の「解析概論」には、

f(x)が点x₀の近傍で微分可能、f''(x₀)が存在するとき、f'(x₀)=0、f''(x₀)>0ならばf(x₀)は極小値で、f'(x₀)=0、f''(x₀)<0ならばf(x₀)は極大値である

とあって、その後に、証明らしきものが出ているが・・・。

 

ところで、お前らは、極大値と極小値の正確な定義を知っているケロか。