お前らに質問（１０月２７日 定積分）の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問（１０月２７日 定積分）の解答例
問題１
について、
を求めよ。また、これを利用して、nが正の整数のときの
の値を求めよ。
【解答例】
したがって、
nが奇数のとき、
nが偶数のとき、
（解答終）
問題２
nを0または正の整数とし、
とおくとき、次の関係を証明せよ。
【解答例】
（１） 0<x<π/4でy=tan xが（下に）凸だから、
（右図参照）
（２） n≧１のとき、
したがって、
（３）
ここで、
とおき、置換積分すると、
（４） n=2k（k=1,2,・・・）と考えると、
また、（２）より
で、
だから、ハサミ打ちの定理より
よって、
（解答終）
問題２の（４）の無限級数
は、ライプニッツの級数と呼ばれるもので、問題２はその値がπ/4であることを示している。
少しインチキですが、
とマクローリン展開でき、これを（項別）積分すると、
x=1としたとき、右辺の交代級数
は、
が単調減少で、かつ、
であるので、収束し、また、
となるので、
と求めることもできる。
ちょっとインチキだけれど、
要するに、
というわけ。
問題３
−1≦x≦1において、
であるとするとき、次のことを示せ。
【解答】
−1≦x≦1において、
で、かつ、f'(x)≧0だから、
したがって、
（解答終）
