お前らに質問 （１０月２７日 定積分と漸化式、級数）

お前らに質問　（１０月２７日　定積分と漸化式、級数）

 

 

お前らに次の問題を解いてもらおうか。

 

 

問題１

について、を求めよ。また、これを利用して、nが正の整数のときのの値を求めよ。

 

【ヒント】

　　

したがって、

　　

 

 

問題２

nを0または正の整数とし、

　　

とおくとき、次の関係を証明せよ。

 

ノーヒントで、お前らが、この問題を解けるなんて、髪の毛一筋ほどにも思っていないので、ヒントを出してやるにゃ。

 

（１）　とおき、これを微分して増減を調べる。

あるいは、0<x<π/4でy=tan xが（下に）凸であることを利用する（右図参照）

 

（２）　n≧１のとき、

　　

したがって、

　　

 

（３）

　

ここで、とおき、置換積分せよ。

 

（４）　n=2k（k=1,2,・・・）と考えると、

　　

 

 

問題３

−1≦x≦1において、であるとするとき、次のことを示せ。

　　

 

最後の問題くらいノーヒントといきたいが、ヒントを出さないとお前らは絶対にこの問題を解こうとしないにゃ。

付き合いが長いから、お前らのことは、よくわかっているケロ。

 

【ヒント】

　　

と考え、部分積分せよ。