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第35回 区分求積法 [微分積分]

第35回 区分求積法

 

関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続であるとすると、f(x)[a,b]で積分可能である。

すなわち、分割

  

の全てに関して、の選び方によらず、リーマン和

  

は、

  

になる。

したがって、[a,b]n等分し、

  

として得られるリーマン和

  

とすると、

  

である。これによって定積分の値を求めることを区分求積法という。

 

例1 [a,b]で定義される定数値関数f(x)=cの積分は

  

なぜならば、

  

 

例2 [a,b]で定義される連続関数f(x)=xの場合、

  

[a,b]n等分し、

  

に取ったとき

  bs35-001.png

念のために、

  

を取ったとき、

  bs35-002.png

なお、この計算では

  

という公式を使っている。

 

問1 区分求積法を用いて、次のことを示せ。

  

【解】

f(x)=x²とし、[a,b]n等分に分割し、

  

とすると、

  

(解答終)

 

上の計算では

  

という公式を使っている。

 

問2 区分求積法を用いて、の値を求めよ。

【解】

[0,1]n等分し、

  

にとる。

とおくと、

  

(解答終)

 

x=1/nとおくと、n→∞のときx→0

したがって、

  

上の計算では、ロピタルの定理を使っていることに注意。

あるいは、

  

 

 

 


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