お前らに質問の解答例（１０月７日 微分積分）

お前らに質問の解答例（１０月７日　微分積分）

 

お前らは、次の不等式をどうやって証明するケロか。

 

問題

p、qを

　　

である正の実数とする。

a>0、b>0ならば

　　

であることを示せ。

【解】

　　

したがって、p>1、q>1。

　　

とおき、微分すると

　　

p>1だから

 

x	0	・・・		・・・
f'(x)		−	0	＋
f(x)		減少	極小	増加

 

したがって、のときに、f(x)は極小かつ最小。

ゆえに、

　　

ところで、

　　

だから、これを①に代入すると

　　

x=a>0を代入すると

　　

（別解終）

 

【別解】

とおくと、なので、f(x)は下に凸な関数。

また、仮定より

　　

だから、

　　

ここで、とおくと、

　　

（別解終）

 

【別解２】

f(x)=log xとおくと、f''(x)=−1/x²<0だから、f(x)=log xは上に凸。

よって、

　　

f(x)=log xは（狭義）単調増加なので、

　　　

（別解２終）