第３６回 微積分の基本定理 [微分積分]
第３６回 微積分の基本定理
f(x)が[a,b]で連続ならば、f(x)は[a,b]で積分可能である。
定理１ （積分の平均値定理）
f(x)が[a,b]で連続ならば、
を満たすξが存在する。
【証明】
f(x)が[a,b]で定数cのとき、
だから、
となり、a<ξ<bである、任意のξについて成り立つ。
f(x)が[a,b]で定数でないとき、f(x)は有界閉区間[a,b]で最小値mと最大値Mを持つ。
したがって、中間値の定理より
（証明終）
定理２
f(x)は区間Iで連続とする。定点
と任意の
に対し、
とおくと、F(x)はIの各点xで微分可能で、
【証明】
f(x)はIで連続だから、積分の平均値の定理より
となるθが存在する。
したがって、
（証明終）
定理３
f(x)を[a,b]で連続とする。F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、
ならば、
【証明】
定理２より
はf(x)の原始関数の１つで、
したがって、
だから、
したがって、
（証明終）
問１ 次の定積分の値を求めよ。
【解】
（１） 
は
の原始関数なので、
（２）
（３）
m≠nのとき
m=nのとき、
（解答終）
問２ f(x)を[a,b]で連続な関数とするとき、次のことを示せ。
任意のx∈[a,b]に対して
ならば、
である。
【解】
の両辺を微分すると、
（解答終）
問３ 次の条件を満たす連続な関数f(x)を求めよ。
【解】
（１） 
は定数なので、
とおくと、
したがって、
よって、
（２） 両辺を微分すると、
両辺を積分すると
また、
だから、x=1を代入すると、
よって、
したがって、
（解答終）
問４ 次のことを示せ。
（１） f(x)が区間Iで連続、φ(x)が区間Jで微分可能であって、
ならば、a∈Iと任意のx∈Iに対して、
（２） f(x)が実数全体の集合Rで連続であって、任意のx、h∈Rに対して
ならば、f(x)は定数値関数である。
【解】
（１） 
とおくと、
Fとφが微分可能であるから、Φは微分可能であって、
また、
だから、
（２） xを固定し、両辺をhで微分すると、
これが任意のhについて成り立つので、f(x)は定数値関数である。
特にh=−xとすれば、
（解答終）
