第３８回 定積分の計算２ 置換積分

第３８回　定積分の計算２　置換積分

 

 

定理　（置換積分）

関数f(x)は区間Iで連続、とする。x=φ(t)が区間JでC¹級であって、かたa=φ(α)、b=φ(β)ならば

　　

【証明】

f(x)の原始関数をF(x)とすると、

　　

この右辺はJで連続だから積分可能。

よって、

　　

（証明終）

 

問１　次の値を求めよ。

【解】

（１）　t=3x²+4とおくと、x=0にはt=4、x=2にはt=16が対応し、dt=6xdxだから、

　　

 

（２）　x=sintとおくと、t=0のときx=0、t=π/2のときx=1で、

　　

また、dx=costdtだから、

　　

 

（３）　2x−x²=1−(x−1)²だからx−1=sintとおくと、t=−π/2のときx=0、t=0のときx=1で、

　　

また、dx=costdtだから、

　　

 

（４）　x=tantとおくと、t=0のときx=0、t=π/4のときx=1で、

よって

　　

 

（５）　とおくと、x=0のときt=0、x=π/2のときt=1で、

　　

だから、

　　

 

（６）　とおくと、x=0のときt=0、x=π/2のときt=1で、

だから、

　　

（解答終）

 

もちろん、（４）は

と計算してよい。

 

 

問２　f(x)を[−a,a]で連続とする。

　f(x)が奇関数（f(−x)=−f(x)）ならば

　f(x)が偶関数(f(−x)=f(x)ならば

であることを示せ。

【解】

　　

x=−tとおくと、x=−aのときt=a、x=0のときt=0が対応し、dx=−dtだから

　　

f(x)が奇関数のとき

　　

だから、①に代入すると、

　　

f(x)が偶関数のとき

　　

これを①の右辺に代入すると

　　

（解答終）

 

 

問３　であることを示して、次の定積分の値を求めよ。

 

【解】

x=π−tとおくと、

　　

 

（１）

　　

 

（２）

　　

 

（３）

　　

t=cosxとおくと

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

問４　であることを示し、の値を求めよ。

【解】

x=π/2−tとおくと、

　　

である。

　　

n≧2のとき

　　

したがって、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

（解答終）