第４５回 広義積分 その４ ベータ関数 [微分積分]
第４５回 広義積分 その４ ベータ関数
定理
（ⅰ） 関数f(x)は(a,b]で連続とする。ある0≦λ<1について、
が収束するならば、広義積分
は収束する。
（ⅱ） 関数f(x)は[a,b)で連続とする。ある0≦λ<1について、
が収束するならば、広義積分は収束する。
【証明
0≦λ<1とする。
（ⅰ）
とすると、
であるδ>0が存在する。
0≦λ<1だから
は収束し、したがって、は収束する。
（ⅱ） 
とすると、
であるδ>0が存在する。
0≦λ<1だから、広義積分
は収束し、したがって、も収束する。
（証明終）
命題 p>0、q>0のとき、
は存在する。
【証明】
0<c<1とし、
とする。
（１） p≧1のとき、[0,c]で
は連続なので、
は通常の定積分で存在する。
0<p<1のとき、
だから、は広義積分。
また、このとき、0<p−1<1であり、
となるので、広義積分
が存在する。
（２） q≧1のとき、[c,1]で
は連続なので、
は存在する。
0<q<1のとき、
だから、は広義積分。
このとき、0<q−1<1であり、
よって、広義積分は存在する。
（１）、（２）より、p>0、q>0のとき、
が存在するので、は存在する。
（証明終）
定義 ベータ関数
p>0、q>0に対して、
とおき、これをベータ関数（Β関数）という。
定理 （ベータ関数の性質）
ベータ関数Β(p,q)は次の性質をみたす。
【解】
（１） x=1−tとおくと
（２） x+(1−x)=1
したがって、
また、
したがって、
（３） 
だから、
また、
したがって、
（証明終）
さて、m、nが自然数のとき、
が成り立つので、
が成立する。
証明はしないが、
この関係は、m,nが自然数の時だけでなく、p>0、q>0のときにも成立する。すなわち、
2019-11-15 22:00
nice!(0)
コメント(0)
コメント 0