第４６回 ベータ関数の定積分への応用 [微分積分]
第４６回 ベータ関数の定積分への応用
ガンマ関数
ガンマ関数の性質
特に、nが自然数のとき
また、
ベータ関数（Β関数）
ベータ関数とガンマ関数
とくに、m,nが自然数のとき
問１ ベータ関数を利用して、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（１）
（２）
だから
また、
したがって、
（３）
さて、
だから、
（解答終）
問２ 
と置換し、ベータ関数を利用して、次の定積分の値を求めよ。ただし、b>aとする。
【解】
とおくと、x=aはt=0、x=bはt=1に対応し、dx=(b−a)dtになる。
したがって、
（１）はp=2、q=2の場合なので、
（２）はp=2、q=3のときなので、
（３）はp=q=2/3の場合なので、
（解答終）
さて、ベータ関数
は、 x=sin²tと置くと、x=0はt=0、x=1はt=π/2に対応し、
となるので、
したがって、
である。
特に、m、nを自然数とすると、
問３ ベータ関数を用いて、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（解答終）
お前らに質問（定積分と面積 １１月１６日）の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問（定積分と面積 １１月１６日）の解答例
問題 次の方程式の表す曲線の概形を概形をかけ。また、この曲線とx軸との間で囲まれた部分の面積を求めよ。
【解答】
（１） x²+2xy+y²−7x−6y+10=0をxについて解くと、
そこで、
とおくと、求める面積は
（２） x²−2xy+y²−5x+4y+4=0をxについて解くと
そこで、
とおくと、求める面積は
（解答終）
この問題は、
曲線の方程式をyについて解き、それをxの関数とするのではなく、
xについて解き、yの関数とみなして積分し、面積を求めた方がずっと楽なんだケロよ。
バカの一つ覚えじゃないけれど、
いつも、二次曲線をy=f(x)の形に直してから解くという一つの方法で解くなんてつまらないケロよ。
そういった呪縛から卒業すべきだケロ。
反逆の狼煙（のろし）を上げるべきだと思うにゃ。
その先に何が待ち構えているか、また、その選択が正しいかどうかについて、オレな知らないけれど・・・。
例えば、次の問題があるとする。
問題 曲線
とx軸、y軸、ならびに直線y=a（a>0）で囲まれる部分の面積を求めよ。
これを、
や
など解くのは狂気の沙汰だと思うケロ。
そして、
Ahoと呼ばれてしょうがないと思うにゃ。
この問題は、見方を変えて、
と解くべきだケロよ。
お前らに質問（１１月１５日 媒介変数で表された曲線の面積）の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問（１１月１５日 媒介変数で表された曲線の面積）の解答例
問題１ 次の方程式のあらわす曲線とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。
【解答例】
（１） xはtについてt<0で減少でt>0で増加し、また、y≧0になるのは−2≦t≦1。
したがって、t≦0のときに得られる曲線をy₁、0≦tのときに得られるy₂とすると、求める面積は
（２） xはt<0で減少しt>0で増加。また、この曲線がx軸、すなわち、直線y=0に交わるのはt²+t−2=0よりt=−2、1のとき。
そこで、t≧0のときに得られる曲線をy₁、t≦0のときに得られる曲線をy₂とすると、求める面積は
（解答終）
媒介変数（パラメータ）であらわされたこの曲線の概形をかけないことには話にならないので、適当なtの値を与え、とにかくこの曲線をかくことだにゃ。
ちなみに、
問題１の（１）の曲線は、
x=1+t²をtについて解くと、
これをy=2−t−t²に代入すると、
この両辺を２乗すると、
（２）の曲線は、
t=±√xをy=t²+t−2に代入すると、
両辺を２乗すると、
したがって、問題１は次の問題と同じもの。
問題 次の方程式の表す曲線の概形を概形をかけ。また、この曲線とx軸との間で囲まれた部分の面積を求めよ。
ということで、
お前ら、上の問題を解くにゃ。
問題２ 曲線
とx軸とによって囲まれた面積を求めよ。
【解答例】
xはtの奇関数、yはtの偶関数なので、この曲線はy軸に関して対称。
だから、t≧0について考えればよい。
なので、xは0<t<1で増加、t>1のとき減少。
また、y≧0になるのは、0≦t≦√2。
そこで、0≦t≦1のときに得られる曲線をy₁、1≦t≦√2のときに得られる曲線をy₂とすると、求める面積は
（解答終）
結論だけを言えば、y≧0になるのは、−√2≦t≦√2だから、
ということになりますが・・・(^^ゞ
お前らに質問 （１１月１５日 媒介変数で表された曲線の面積） [お前らに質問]
お前らに質問 （１１月１５日 媒介変数で表された曲線の面積）
例題 tがすべての実数の範囲を動くとき、
を座標とする点(x,y)は１つの曲線をえがく。この曲線とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。
【解】
y≧0になるのは0≦t≦2で、t=0のときx=1、t=2のときx=5。
したがって、求める面積Sは
（解答終）
さて、この例題を踏まえて、お前らに次の問題を解いてもらおうか。
問題１ 次の方程式のあらわす曲線とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。
この方程式で表された曲線も自分でえがいて欲しいところであるけれど、ネムネコは、ホトケ様のように優しいから、お前等の参考になるように、曲線だけはかいてやるにゃ。
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問題２ 曲線とx軸とによって囲まれた面積を求めよ。
さっ、この問題を解いてもらましょうか。
問題１については、媒介変数（パラメータ）であるtを消去し、yをxの関数にあらわして解くこともできるけれど、問題２は・・・。
それはそれとしまして、記事の内容よりも、記事中に埋め込まれているアニソンを楽しみしているヒトの方が多そうなので、今日も神曲（かみきょく）を埋め込むにゃ。
第４５回 広義積分 その４ ベータ関数 [微分積分]
第４５回 広義積分 その４ ベータ関数
定理
（ⅰ） 関数f(x)は(a,b]で連続とする。ある0≦λ<1について、
が収束するならば、広義積分
は収束する。
（ⅱ） 関数f(x)は[a,b)で連続とする。ある0≦λ<1について、
が収束するならば、広義積分は収束する。
【証明
0≦λ<1とする。
（ⅰ）
とすると、
であるδ>0が存在する。
0≦λ<1だから
は収束し、したがって、は収束する。
（ⅱ） 
とすると、
であるδ>0が存在する。
0≦λ<1だから、広義積分
は収束し、したがって、も収束する。
（証明終）
命題 p>0、q>0のとき、
は存在する。
【証明】
0<c<1とし、
とする。
（１） p≧1のとき、[0,c]で
は連続なので、
は通常の定積分で存在する。
0<p<1のとき、
だから、は広義積分。
また、このとき、0<p−1<1であり、
となるので、広義積分
が存在する。
（２） q≧1のとき、[c,1]で
は連続なので、
は存在する。
0<q<1のとき、
だから、は広義積分。
このとき、0<q−1<1であり、
よって、広義積分は存在する。
（１）、（２）より、p>0、q>0のとき、
が存在するので、は存在する。
（証明終）
定義 ベータ関数
p>0、q>0に対して、
とおき、これをベータ関数（Β関数）という。
定理 （ベータ関数の性質）
ベータ関数Β(p,q)は次の性質をみたす。
【解】
（１） x=1−tとおくと
（２） x+(1−x)=1
したがって、
また、
したがって、
（３） 
だから、
また、
したがって、
（証明終）
さて、m、nが自然数のとき、
が成り立つので、
が成立する。
証明はしないが、
この関係は、m,nが自然数の時だけでなく、p>0、q>0のときにも成立する。すなわち、
前らに質問 （１１月１４日 ２次方程式） [お前らに質問]
数年前のことであるが、ネムネコがなかなか解けずに、苦悶し、のたうち回った問題をお前らに紹介。
問題 方程式ax²−x+1=0（aは実数）が実根をもつとき、１つの実根は２より大きくない正の根であることを証明せよ。
ネムネコが高校２年ときに学校から配布された、数学演習の授業用の問題集にあった問題で、某大学の大学入試に出された問題らしいのだけれど、実家に帰ったときに、「ねこ騙し数学」の参考にならないかと考え、久しぶりにその問題集を開き、これがなかなか解けなかった。
基本問題に分類されているのだから、秒殺できないといけないのに、解けない。
「どんな方法を使ってもいい」というのならば話は別だけれど、これは数学Ⅰ用の問題だから・・・。
ということで、
ネムネコには難問であった、基本レベルのこの問題を、お前らに解いてもらおうじゃないか。
ひとつだけ忠告しておくけれど、
「方程式ax²−x+1=0（aは実数）」は、a=0の場合もあるので、２次方程式とは限らない！！
ので、この点は注意すること。
解けた奴は、「ネムネコも大したことないな」と自慢するべく、この記事のコメント欄に回答を書いて、ネムネコのもとに送信するように。
下克上を果たし、このブログを乗っ取れる千載一遇のチャンスだケロ（笑）。
第４４回 広義積分 その３ ガンマ関数 [微分積分]
第４４回 広義積分 その３ ガンマ関数
命題
p>0のとき、広義積分
は収束する。
【証明】
とおき、
とする。
（１） p≧1のとき、f(x)は[0,1]で連続だから、
は通常の積分。
0<p<1のとき、
だから、は広義積分である。
0<x≦1では、
だから、
よって、広義積分
は収束する。
（２） 任意のp>0に対して
ゆえに、任意のx∈[1,∞)に対して
となる定数M>0が存在し、
である。
よって、広義
は収束する。
（１）、（２）より、p>0のとき、広義積分は収束する。
（証明終）
定義 （ガンマ関数）
p>0に対して
とおき、これをガンマ関数という。
定理
ガンマ関数Γ(p)は次の性質をみたす。
特に、自然数nに対して
【証明】
0<s<1<tとすると、
である。
p>0のとき、
だから、
また、
n=1のとき
なので、
（証明終）
２変数関数の広義積分などが必要になるのでここでは示さないが、
である。
問１ 次の値を求めよ。
【解】
p>0のとき、
が成り立ち、また、
したがって、
（解答終）
問１より
となるので、次の関係が成り立つことがわかる。
また、
ここでは証明せずに結果だけを示すが、ガンマ関数では、次の関係が成立する。
この関係を用いることで、ガンマ関数Γ(p)はp<0に拡張することができる。ただし、p≠−1、−2、・・・とする。
（５）式を用い、拡張したガンマ関数のグラフは次のようになる。
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問２ （５）式を用い、であることを示せ。
【解】
P=1/2とおくと、
（解答終）
問３ 
の値を求めよ。
【解】
p=3/2とおくと、（５）式より
問１より
だから、
（解答終）
お前らに質問（１１月１２日 積分形のテーラー展開）の解答（？）と追加問題 [お前らに質問]
お前らに質問（１１月１２日 積分形のテーラー展開）の解答（？）と追加問題
お前らに次の問題を解いてもらおうか。
問題 次の関係が成立することを示せ。
【解】
−1<t≦xとすると、
（解答終）
f(x)=log(1+x)とおくと、
だから、積分刑のテーラー展開（マクローリン展開）より
などとやると、何をやっているのか、わからなくなるので注意だにゃ。
だから、ネムネコの呪い、呪縛と書いたんだにゃ。
ちなみに、初項1、公比−t（t≠−1）の等比数列の和は
よって、
これが見えないと、この問題は、ちょっと解けないにゃ。
それはそれとして、ここで終わったら、「今日の数学の記事は手抜きだケロ」との批判を浴びるおそれがあるので、問題を追加。
追加問題 次の広義積分の収束・発散を判定せよ。
実は、この問題の（１）を昨日、１１月１２日の「お前らに質問」の問題にしようと思ったのだけれど、とある理由から、昨日の問題に、急遽、変更したという経緯がある曰くつきの問題だにゃ。
どちらも、難しくないはずなので、やってもらいましょうか。
記事の内容とは、まったく、無関係だけれど、この曲、この動画を♪
お前らに質問 （１１月１２日 積分刑のテーラー展開） [お前らに質問]
お前らに質問 （１１月１２日 積分のテーラー展開）
お前らに次の問題を解いてもらおうか。
問題 次の関係が成立することを示せ。
お前らには、いつも、ヒントを出しているけれど、ヒントを出し続けると、癖になるにゃ。
自分の頭で考えなくなるケロ。
これは、「ねこ騙し数学」というブログの本意に反するにゃ。
ということで、今回はヒントなしだにゃ。
ではあるが、
f(x)が
級であるとき
や
といったお呪（まじ）いを書いてやるにゃ。
ここで、
はf(x)のn次導関数のことだにゃ。
お呪いだから、効果があるかどうかは不明。
ひょっとしたら、ただの迷信で、惑わしかもしれないので、十分注意するにゃ。
オマジナイではなく、ネムネコの呪（のろ）いの可能性すらあるにゃ。
でないと、
ちなみに、
n=0のとき、
n=1のとき、
n=2のとき
になるので、式は間違ってないようだ。
お前等の迷回答を、心より、お待ちしております(^^)。
第４３回 広義積分 その２ [微分積分]
第４３回 広義積分 その２
問１ αを実数とするとするとき、次のことを示せ。
（１） 広義積分
が収束するための必要十分条件はα<1である。
（２） 広義積分
が収束するための必要十分条件はα>1である。
【解】
α=1のとき、
したがって、広義積分
は発散する。
α≠1のとき、
したがって、が収束するのは、α<1のときである。
また、
ゆえに、が収束するのはα>1である。
（解答終）
次に、広義積分の収束・発散の判定で便利な次の定理だけを紹介する。
定理
a、bは実数とする。
f(x)、g(x)は区間I=(a,b]（あるいは、[a,b)、(a,b)）で連続とする。
（１） 
が収束するならば、
は収束する。
（２） 任意のx∈Iに対して、｜f(x)｜≦g(x)、かつ、
が収束するならば、は収束する。
（３） 任意のx∈Iに対してf(x)≧g(x)、かつ、が発散すれば、も発散する。
上記の定理は、区間が(−∞,b]、[a,∞)、（−∞,∞)である場合にも成立する。
問２ 次の広義積分の収束、発散を判定せよ。
【解】
（１） (0,1]で
だから、
も発散する。
（２） 
だから
と拡張すると、f(x)は[0,1]で連続となり、積分可能。
あるいは、0<x≦1のとき
であり、
だから、
広義積分
は収束する。
（３）
よって、
は発散する。
（４）
よって、発散する。
（５）
よって、収束する。
（６） π/2<xのとき
であり、
したがって、広義積分
は収束する。
（解答終）
問３ 次の広義積分が収束することを示せ。
【解】
(0,π/2]で
だから、
だから、広義積分
は収束する。
π/2<tとすると、
かつ
が絶対収束する（※）ので
も収束する。したがって、
も収束する。
（解答終）
（※） [π/2、∞)で
だから、広義積分は絶対収束する。
問４ f(x)を[0,∞)で連続とするとき、次のことが成り立つことを示せ。
（１） f(x)が有界ならば、
は収束する。
（２） が有界となる定数α>1が存在するなら
ばは収束する。
（３） f(x)が非負の減少関数で
が収束するならばで
ある。
【解】
（１） f(x)が有界なので、ある定数Mが存在して、
したっがって、
で、
したがって、は収束する。
（２） 仮定より、α>1かつ
である定数Mが存在し、
問１の（２）より、α>1のときは収束するので、は収束する。
（３） 
であると仮定すると、f(x)は減少関数なので、任意のx∈[0,∞)に関してf(x)≧α。
すると、
だから、も発散し、が収束することに矛盾。
よって、である。
（解答終）
