第４３回 広義積分 その２

第４３回　広義積分　その２

 

 

問１　αを実数とするとするとき、次のことを示せ。

（１）　広義積分が収束するための必要十分条件はα<1である。

（２）　広義積分が収束するための必要十分条件はα>1である。

【解】

α=1のとき、

　　

したがって、広義積分は発散する。

α≠1のとき、

　　

したがって、が収束するのは、α<1のときである。

また、

　　

ゆえに、が収束するのはα>1である。

（解答終）

 

次に、広義積分の収束・発散の判定で便利な次の定理だけを紹介する。

 

定理

a、bは実数とする。

f(x)、g(x)は区間I=(a,b]（あるいは、[a,b)、(a,b)）で連続とする。

（１）　が収束するならば、は収束する。

（２）　任意のx∈Iに対して、｜f(x)｜≦g(x)、かつ、が収束するならば、は収束する。

（３）　任意のx∈Iに対してf(x)≧g(x)、かつ、が発散すれば、も発散する。

 

上記の定理は、区間が(−∞,b]、[a,∞)、（−∞,∞)である場合にも成立する。

 

 

問２　次の広義積分の収束、発散を判定せよ。

【解】

（１）　(0,1]で

　　

だから、も発散する。

 

（２）　だから

　　

と拡張すると、f(x)は[0,1]で連続となり、積分可能。

あるいは、0<x≦1のとき

　　

であり、

　　

だから、

広義積分は収束する。

 

（３）

　　

よって、は発散する。

 

（４）

　　

よって、発散する。

 

（５）

　　

よって、収束する。

 

（６）　π/2<xのとき

　　

であり、

　　

したがって、広義積分は収束する。

（解答終）

 

 

問３　次の広義積分が収束することを示せ。

　　

【解】

(0,π/2]で

　　

だから、

　　

だから、広義積分は収束する。

π/2<tとすると、

　　

かつが絶対収束する（※）のでも収束する。したがって、も収束する。

（解答終）

 

（※）　[π/2、∞)で

　　

だから、広義積分は絶対収束する。

 

 

 

問４　f(x)を[0,∞)で連続とするとき、次のことが成り立つことを示せ。

（１）　f(x)が有界ならば、は収束する。

（２）　が有界となる定数α>1が存在するならばは収束する。

（３）　f(x)が非負の減少関数でが収束するならばである。

【解】

（１）　f(x)が有界なので、ある定数Mが存在して、

　　

したっがって、

　　

で、

　　

したがって、は収束する。

 

（２）　仮定より、α>1かつである定数Mが存在し、

　　

問１の（２）より、α>1のときは収束するので、は収束する。

 

（３）　であると仮定すると、f(x)は減少関数なので、任意のx∈[0,∞)に関してf(x)≧α。

すると、

　　

だから、も発散し、が収束することに矛盾。

よって、である。

（解答終）