オマケ問題の解答例（級数編）

オマケ問題の解答例（級数編）

 

問１　次のことを示せ。

【解答】

（１）

　　

とおくと、

　　

ゆえに、

　　

となり、f'(x)は増加関数。

したがって、

　　

となり、f(x)は増加関数。

よって、

　　

ゆえに、x>0のとき、

　　

 

（２）　（１）より、x>0のとき、

　　

また、

　　

となるので、ハサミ打ちの定理より、

　　

 

（３）　とおくと、

　　

n→∞のときx→∞になるので、

　　

（解答終）

 

 

問２　次のことを示せ。

　　

【解】

nを２以上の自然数とすると、n+1<n²となるので、

　　

問１より、

　　

だから、ハサミ打ち定理より、

　　

（解答終）

 

 

定理

ならば、

　　

 

 

 

問３　定理を使わずに、次のことを示せ。

　　

【解答】

kを自然数とする。

閉区間[k−1,k]でlogxは増加関数なので、

　　

したがって、

　　　

log1=0だから、

　　

また、

　　

となるので、

　　

したがって、

　　　　

（解答終）

 

もっとうまい方法があるかもしれないけれど、定理を使わなくても、この問題は解くことができる。