少しだけ考えるネムネコ

問２　次のことを示せ。

　　

の解答で、

nを２以上の自然数とするとn+1<n²なので、

　　

としたけれど、

　　

という不等式を用いた方がいいのかもしれない。

 

最初、下の不等式を使おうかと思ったんだけれど、「式が少し長いし、見た目がかっこ悪い」ということで、上の不等式を使った。

しかし、

　　

の右辺第２項はをで近似したときの誤差の程度を与えるものと考えることができるので、これはこれで捨てがたいように思う。

そして、このことから、

　　

となるので、

　　

になるのだと理解することができる。

また、nが十分大きい自然数のとき、

　　

だから、

　　

と考えてよいことも表しているから。

 

 

さらに、

　　

と変形し、

　　

とする。

　　

となることと

　　

から、

　　

という解き方もあるでしょう。

 

 

問　nを自然数とするとき、

　　

が成立することを示せ。

 

オレはお前らをこれっぽっちも信用していないから、サービスで図をつけてやるにゃ。

 

この図から、

　　

等号が成立するのは、x=1のとき。

この不等式に、x=1+1/n>1を代入すると、

　　

図形、幾何的にはこういうことだ。

 

「平均値の定理を使うといいんじゃねぇ」と気づいたヒトは、積分を使ってこの不等式を証明すべし。

 

まぁ、お前らごときに積分を用いた不等式の証明ができるなんて、さらさら思っていないが。

 

 

画像元：上の動画

 

 

この結果を使うならば、

　　

よって、ハサミ打ちの定理より

　　

と解くことができる。