関数列の微分

関数列の微分

 

定理３

関数列を閉区間[a,b]上のC¹級の関数列とする。[a,b]でが関数f(x)に各点で収束し、かつ、がある関数に一様収束するならば、

　　

である。

【証明】

は[a,b]上でC¹級なので、は[a,b]で連続で、積分可能である。

x∈[a,b]とすると、

　　

はf(x)に各点で収束し、はその極限関数g(x)に収束するので、

n→∞の極限をとると、

　　

右辺は微分可能なので、f(x)も微分可能で、

　　

（証明終）

 

例１

　　

とすると、これはx≧1でC¹級で、f(x)=0に一様収束する。

　　

また、

　　

なので、も0に一様に収束する。

したがって、定理３より、

　　

となり、定理が成り立っていることがわかる。

 

問１　次の関数列が一様に収束することを示せ。

　　

【略解】

　　

また、

　　

なのでハサミ打ちの定理より、

　　

よって、関数列はf(x)=0に収束する。

　　

だから、一様に収束する。

（略解終）

 

例２

　　

はC¹級で、f(x)=0に一様に収束。

また、

　　

は、

　　

となり、一様収束ではない。

この例の場合、

　　

である。

 

例３

　　

で定義される関数列がある。

　　

となるので、この関数列の極限関数はf(x)=0である。

また、

　　

は、0に一様ではなく各点収束する。

しかし、

　　

が成立する。

 

例３を見るとわかる通り、が一様収束ではなく各点収束であっても、

　　

が成立することがある。

実は、が一様収束であるという条件は強すぎる。もっと縛りの弱い条件でも成立するのですが、これは微分積分の範囲を越えてしまうので、これ以上は語らない。

 

問２

　　

がx∈[0,1]であるすべて点xで収束することを示せ。また、一様収束でないことを示せ。

【略解】

　　

よって、[0,1]で0に収束し、極限関数はf(x)=0 (x∈[0,1]) である。

x=1/nとすると、

　　

となるので、一様収束ではない。

（略解終）

 

上の解答では、ずるい一様収束の判定を行ったが、

　　

を微分し、それから増減を調べ、

　　

となることを確かめるように。