関数列のどうでもいい話かも

関数列のどうでもいい話かも

 

定理２

を閉区間[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でがf(x)に一様収束するならば、

　　

 

次の連続な関数列

　　

は、

　　

に収束するので、[0,1]で一様収束ではない。

したがって、定理２を使うことはできない。

しかし、

　　

となる。

また、極限関数f(x)は[0,1]で積分可能であり、

　　

となるので、

　　

が成立する。

したがって、連続な関数列が[a,b]上でf(x)に一様収束しなくても、（１）式が成立することがある。

つまり、連続な関数列が極限関数に一様収束することは（１）式が成立することの十分条件にすぎないことがわかるだろう。

 

（２）式で定義される関数f(x)は[0,1]で連続でないので、積分できないって？

それは、

　　

が成り立つとき、F(x)をf(x)の原始関数（不定積分）といい、定積分を

　　

と定義する高校流の定積分の話。

（２）式で定義される関数は、（リーマン）積分可能ですよ。

 

f(x)を閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割

　　

に対し、を任意に選んだ

　　

をリーマン和といい、

　　

を分割の幅という。

このとき、ある実数αが存在して、のとり方によらず、

　　

が成り立つとき、f(x)は[a,b]上で積分可能であるといい、

　　

で表し、この値をfの[a,b]上の定積分という。

 

（２）の関数の場合、x=1がに選ばれた時、

　　

であり、x=1が選ばれない時は、

　　

となるので、の選び方によらず、

　　

となり、f(x)は[0,1]で積分可能で、

　　

になる。

 

なお、

　　

となる微分可能な関数F(x)は存在しないので、f(x)に原始関数は存在しない。

 

というわけで、（２）式で与えられる関数列に関しては、

　　

が成立することを理解してもらえたと思う。

 

次の関数列の場合はどうなるであろうか。

　　

この関数列は、[0,1)では0に収束するが、x=1のとき、

　　

となるので、x=1では収束しない。

したがって、この数列の収束域は[0,1)で、極限関数は

　　

となる。

 

では、ここで問題。

 

問題

0<a<1とする。

　　

で定義される関数列がある。

（１）　関数列は[0,a]で各点収束することを示せ。

（２）　関数列は[0,a]で一様収束するか。

（３）　は成り立つか。