お前らに、ちょっとした幾何（ベクトル）の問題

お前らに、ちょっとした幾何（ベクトル）の問題を出すにゃ。

 

問題

右の図に示すように、互いに平行でない、２つのベクトルとが作る平行四辺形OACBの面積Sを求めよ。

 

「そんなの、になるに決まっているではないか」という答は認めない。

だって、とがxy平面上の２次元のベクトルの場合、外積はそのベクトルとして定義できないケロよ。

 

ネムネコは、ベクトルの内積を利用して、この平行四辺形の面責Sを表す一般的な公式を導けと問うているんだ。

 

そして、その公式をもとに、

　　

のとき、平行四辺形OACBの面積Sが

　　

となることを示せ。

 

すると、これが行列

　　

の行列式

　　

と関係があることに気付くのではないか。

 

ところで、ベクトルの内積を使わずに、⑨の公式を導くにはいったいどうしたらいいんだろう。

 

線分OAがx軸に一致するように時計回りに回転させて・・・。

線分OAとx軸のなす角をαとし、

 　　

これをもとに、三角関数の加法定理を用いて、sinθを求め・・・。（実は、回転と実質同じことを行うことになる）

点Bから線分OAに下ろした垂線の足をHとし、あとは、ひたすら成分計算・・・。

 

あるいは、下の図のように図形を分割し、三角形OABの面積を求める。

 

 

これならば、

台形aABbの面積は

　　

長方形ObBdの面積は

　　

さらに、

　　

よって、

　　

ゆえに、平行四辺形OACBの面積Sは、これを２倍して

　　

 

というわけで、

この問題の後半部分は中学２年生程度の数学の知識があれば、十分に解くことができる！！
それどころか、使っている数学的知識は小学校レベルのものだけ！！！！

コアな文系さんは、ベクトルの内積はおろか、三角関数さえも忘却の彼方にあるかもしれない。

 

危ない薫が漂ってくるにゃ。

オレがお前らに難しい問題を出すわけがないだろう(^^)

ネムネコが出題する圧倒的多数の問題は数行、長くても１０行で片が付く問題ばかりだにゃ。
ネムネコはとっても優しいにゃ。

ただし、この解法は、「a、b、c、dが全て正で、かつ、a>b」という条件でのみ成立するもの。
現に求めるべきものは、S=｜ad−bc｜であって、S=ad−bcではないことから、このことは明らかでしょう。