一様収束する関数列の性質の復習

一様収束する関数列の性質の復習

 

定理１

I上の連続関数列が関数f(x)に一様収束すれば、f(x)はI上で連続である。

【証明】

a∈Iとし、ε>0を任意の正数とする。

関数列は一様収束するので、任意の正数ε/3に対して、ある自然数Nが存在して、

　　

を満たす。

特に、

　　

である。

また、関数は点aで連続なので、あるδ>0が存在し、

　　

よって、である任意のxに対して、

　　

したがって、f(x)はIに属する任意の点aで連続となり、f(x)はI上の連続関数である。

（証明終）

 

関数列

　　

とすると、は[0,1]で連続。

極限関数f(x)は

　　

となり、x=1でf(x)は不連続。

したがって、定理１からこの関数列は一様収束でないと判定できる。

 

 

定理２

を閉区間[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でがf(x)に一様収束するならば、

　　

である。

【略証】

は[a,b]で連続なので積分可能。

　　

したがって、

　　

（略証終）

 

0<a<1とする。

次の連続な関数列

　　

は、

　　

に[0,a]で一様収束する。

したがって、定理２より

　　

と計算することが可能。

現に

　　

となることから、このことを確かめることができる。

 

問題　次の関数列がある。

　　

（１）　が[0,1]で一様収束することを示せ。

（２）　の極限関数をf(x)とするとき、

　　

となることを確かめよ。

【略解】

（１）　関数列の極限関数をf(x)とすると、

　　

である。

の最大、最小値を求めるために、をxで微分し、増減を調べると、

　　

ゆえに、

　　

増減表は次のようになる。

 

 

したがって、

　　

よって、はfに一様収束する。

 

（２）　定理２より

　　

また、

　　

（略解終）