関数列の問題 [数列と級数]
関数列の問題
問題１ I=[0,1]のとき、
が
で定義されるとする。
このとき、次の問に答えよ。
（１） 関数列
がIの各点で収束することを示せ。
（２） は一様収束か。
（３） 
は成立するか。
【解】
（１） x=0のとき、
なので、1に収束する。
0<x≦1のとき、
になるようにnをとると、
なので、
したがって、
（２） はIで連続であるが、その極限関数f(x)がIで連続でないので、一様収束ではない。
（３）
また、
よって、
（解答終）
（２）のの一様収束か否かの判定には、次の定理１を使っている。
定理１
I上の連続関数列が関数f(x)に一様収束すれば、f(x)はI上で連続である。
また、
で、
だから、
はIで一様収束でないとしてもよい。
問題２
とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） [0,1]の各点で収束することを示せ。
（２） 一様に収束するか。
（３） は成立するか。
【解】
（１） x=0のとき、
だから、０に収束する。
0<x≦１のとき、
n→∞のとき2/nx→0なので、ハサミ打ちの定理より
よって、は[0,1]の各点でf(x)=０に収束する。
（２） の増減を調べるために、xで微分すると
したがって、x=1/nのときに、は最大。
したがって、
よって、
である。
なので、は一様収束でない。
（３）
また、
よって、
（解答終）
定理１の逆は一般に成り立たないので、
極限関数f(x)=0が[0,1]で連続だから関数列は[0,1]で一様収束
とするのは間違いなので、注意。
問題３
とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） 関数列が[0,1]の各点で収束することを示せ。
（２） 一様収束か。
（３） は成り立つか。
【解】
（１） x=0のとき、
0<x≦1のとき、1/n≦xとなるように自然数nをとると、
したがって、
よって、[0,1]の各点xでf(x)=0に収束する。
（２）
したがって、一様収束でない。
（３）
よって、
また、
だから、
は成立しない。
（解答終）
2018-12-24 15:19
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