考えるネムネコ 数列の極限値

大学入試問題に、漸化式

　　

であたえられる数列の極限値問題が出ていたような記憶があったので、ネムネコが高校時代に使っていた参考書を調べてみたら、出ていた。

 

問題１　実数x₁を任意にとり、２次関数f(x)=x(2−x)を用いて

　　

により、数列x₁,x₂,x₃,・・・を定める。

（１）　一般項を初項x₁で表わせ。

（２）　この数列が収束するようなx₁の範囲を定めよ。

【略解】

（１）　の両辺を１で引くと、

　　

よって、

　　

 

（２）　収束の条件は、

　　

よって、0≦x₁≦2である。

（略解終）

 

 

問題２　無限数列が次の条件を満たしている。

（１）　とするとき、との間の関係式を求めよ。

（２）　初項x₁が0<x₁<をみたしているならばであることを示せ。

（３）　0<x₁<1であるとき、を求めよ。

【略解】

（１）　問題の条件より、

　　

これを代入すると、

　　

 

（２）　とすると、

　　

 

（３）　（１）より

　　

0<y₁<1だから、

　　

よって、

　　

（略解終）

 

何故、⑨になるのかわからないヒトは、だから、

　　

の両辺の対数をとると、

　　

ここで、

　　

とおくと、（１）より

　　

とするといいのではないか。

 

この類題は、おそらく、これまでに何度も繰り返し大学入試に出題されつづけてきた有名問題なんでしょう、きっと。

 

ただ、問題１の（１）は、少し不親切のように思う。

両辺を１で引くことに気づかないと、一般項を求めるのは難しいからね〜。

「とし、漸化式に代入すると、

　　

だから、α=1で両辺を引くんです。（受験）参考書にはそう書いてあります。これは受験数学のテクニックで、いやしくも難関大学（問題１は阪大の大昔の入試問題）を目指す者は誰しも知っていることです」と言われて、「あっ、そうですか」と苦笑いするネムネコであった。

 

本当に、そんなことを（受験）参考書には書いてあるのだろうか？

じゃぁ〜、なぜ、０で引いたら、ダメなんだろうか？