背理法について質問への回答が一つも来やしない [ひとこと言わねば]
背理法についての質問への回答が一つも来やしない
先日出題した、
問題 命題「x>1ならばx²>1」が真であることを背理法を用いて示せ
という問題に対する回答が一つも来やしない。
お前ら、どういうつもりだにゃ。
【背理法を用いた証明（？）】
x²>1を否定し、矛盾を導けばよい。
x²>1を否定すると、
になる。
そこで、
x²≦1とすると、
になる。（「x²≦1」と「−1≦x≦1」は同値の命題）
「x>1」と「−1≦x≦1」とは矛盾する。
この矛盾は「x²≦1」と仮定したために生じたものである。
よって、
である。
（証明終）
ペナルティー問題
背理法は「P⇒Q」の代わりに
を用いて証明する方法である。
これらの命題は「PならばQである」ことと同値であることを証明せよ。
ペナルティー問題で使用している記号を説明すると、「⇒」は「ならば」で含意、「∧」は「かつ」で連言、そして、「¬」は否定を表す。したがって、¬Qは「Qでない」の意味。
高校（数学）で使っていたでろうお馴染み（？）の記号で書くと、
になりますかね〜。
論理記号の演算が苦手、できないヒトは、面倒でも真偽表を書いて、証明するにゃ。
ちゃんと一致しているだろう。
なお、ここで、Tは真、Fは偽を表している。
今度こそ、ちゃんとやれよな！！
今日のアニソン、「少年メイドクーロ君」から『天使の歌』 [今日のアニソン]
固有名詞の「エロース」はキューピットのことだからね。
恋をできなくなったら、人間はおしまいだと思うにゃ。
エロアニメやエロゲーには、いい曲が多いんだケロ。
これで、目の上のタンコブであるナンパグログにすこし迫れるかもしれない。
点列の収束 [位相入門]
点列の収束
自然数全体の集合Nから位相空間
への写像
をXの点列という。
点列の場合、n∈Nの像a(n)を
であらわし、点列自体を
、または単に
で表す。
xの任意の近傍Uに対して、ある自然数m∈Nが存在して、n≧mならば、
であるとき、すなわち、
であるとき、点列はxに収束するといい、xを点列の極限点という。
また、点列がxに収束するとき、
などであらわす。
【注意】
点列がx∈Xに収束するとき、
と表すが、数列の極限値とは異なり、点列の極限点は必ずしも一意的に定まるわけではない。
たとえば、密着位相空間
のとき、Xの任意の点列はXの任意の点に収束することができる。何故ならば、x∈Xとすると、xの近傍UはX自身しかないので
でxの任意の近傍U=Xとなり、n≧1ならば、
が成立するため。
定理１
ハウスドルフ空間においては、点列の極限点は、それが存在すれば、唯一つである。
【証明】
x≠yで、点列の極限点がx、yであるとすると
を満たす。
m=max｛m₁,m₂｝にとると、
となり、ハウスドルフ空間であることに反する。
よって、極限点が存在すれば、唯一つである。
（証明）
距離空間
はハウスドルフ空間なので、定理１から次のことが成り立つ。
定理１の系
距離空間においては、点列の極限点は、それが存在すれば、唯一つである。
密着位相空間の点列の極限点が唯一つに限らないのは、Xの相異なる２点xとyを互いに交わらない開集合UとVでx∈U、y∈Vと分離できないため。
定理２
を位相空間、A⊂Xとする。
（１） A内の点列がxに収束するならば、
である。
（２） が第一可算公理を満たすならば、各に対し、A内の点列でxに収束するものが存在する。
【証明】
（１） A内の点列
がxに収束するので、任意のxの近傍に対して、ある自然数mが存在し、
を満たす。
すると、
であるから、
よって、である。
（２） とし、xの可算基本近傍系を
とし、
とする。
そして、
とする。
Uをxの任意の近傍とすると、が基本近傍系であることより、ある自然数mがあって
。
すると、n≧mならば、
となる。
つまり、はxに収束するA内の点列である。
（証明終）
