どうでもいい話 [テンソル入門]
どうでもいい話
ddt³さんから突っ込みが来たので、どうでもいい話でもしますか。
直線y=xで折り返すと、xy平面上の点(x,y)は(y,x)に移されるよね。
この1次変換を表す行列Tは
だにゃ。点(x,y)がTによって移される点を(x',y')で表すことにすると、
になるにゃ。
さてさて、基本ベクトルをとすると、(本当は、これをe₁、e₂と太字の斜体字で表したいんだけれど・・・)
とし、Tによって基本ベクトルが移されたものをとすると、
となりまして、をこの順番で新しい座標系の基底ベクトルに選ぶと、座標系が右手系から左手系に変わってしまうんだケロ。
直線y=xだと、基底ベクトルが重なってわかりにくいので、原点を通る直線で折り返すことにすにゃ。
すると、
となるケロ。
で、Tによってが移されるベクトルをで表すと、
になる。
ちなみに、この2つのベクトルは、この内積を計算すると、
となるので直交しているし、ベクトルの大きさはともに1だにゃ。
つまり、をもとに新たな直交座標系O-uvというものを構成することができる。
なのですが、この新しい座標系O-uvは通常の座標系O-xyとは異なり、左手系の座標系(これは、例えるならば、鏡の中の世界だね〜)になってしまう。(下図参照)
鏡といえば、鏡の国のアリス。そして、アリスといえば、これだケロ!!
話を元に戻そう。
ではあるのですが、の順番であらたな直交座標系O-vuを作れば、これは右手系の座標系になる。上の図を見ればこのことはすぐにわかるだろう。
そこで、
という1次変換Sを設けると、これは
という変換だから、
ここで、θ=φ−π/2 とすると、
となるので、
となり、この変換は原点まわりの回転ということになるにゃ。
どうでもいい話でした。
しかし、ここで終わってはつまらない。
O-xy座標系からO-uv座標系への座標変換の式を求めてみよう。
点PのO-xy座標系での座標を(x,y)、O-uv座標系での座標を<u,v>としよう。
すると、
となる。
だから、これを代入すると、
したがって、
行列で書くと、
したがって、
この(1)と(2)が、それぞれ、O-uv座標系からO-xy座標系、そして、O-xy座標系からO-uv座標系への変換式ってわけ。
(1)、(2)式ともに
になるんだケロ。
たぶん、間違えていないと思うが(^^ゞ
ここに書いているのは、直交座標系間の座標変換に基本中の基本だから、このやり方は知っておいたほうがいいケロよ〜。
今日のアニソン、「アウトブレイク・カンパニー」から『ユニバーページ』 [今日のアニソン]
数列の収束の復習2 [位相入門]
数列の収束の復習2
集合が上に有界なとき、数列は上に有界であるといい、集合が下に有界なとき、数列は下に有界であるという。
定理6 (単調数列の収束)
数列が単調増加かつ上に有界(単調減少かつ下に有界)ならばは収束する。
【証明】
上に有界な単調増加数列の場合について証明する。
上限の定義より、
(1) すべての自然数nについて、
(2) 任意の正数εに対して、
となるが存在する。
したがって、n>mであるすべてのnについて、
よって、上に有界な単調増加数列は収束する。
(証明終)
定理7 (カントールの区間縮小法の原理)
閉区間がを満たすならば、
である。
さらに、ならば、共通部分
とただ1点からなり、である。
【証明】
である。
よって、数列は上に有界な単調増加数列、数列は下に有界な単調減少数列となり、定理6より収束する。
とおくと、より、α≦βである。
また、なので、
である。
したがって、
である。
また、より、α=β。
とすると、すべての自然数nに対して
となるので、c=α。
よって、
(証明終)
φをNからNへの狭義単調増加関数(n₁<n₂ならばφ(n₁)<φ(n₂)とする。数列が与えられたとき、数列を数列の部分列という。
定理8 (部分列の収束)
すなわち、
【証明】
数列の極限値をαとすると、任意の正数εに対して、ある自然数mがあって、
である。
φ(n)≧nなので、
よって、収束する数列の部分列はの極限値に収束する。
(証明終)
定理9 (Boltano-Weiestrassの定理)
有界な数列は、収束する部分列をもつ。
コーシー列
数列が任意の正数εに対して、ある自然数pが存在し、n>p、m>pを満たす任意の自然数m、nに対して
が成り立つとき、はコーシー列であるという。
定理10 (コーシー列の有界性)
コーシー列は有界である。
【証明】
数列はコーシー列であるとする。ε=1とすれば、ある自然数pが存在し、
となる。
m=p+1とすると、
となるから、
そこで、
とおけば、任意の自然数nに対して、
(証明終)
定理11 (コーシーの収束条件)
数列が収束するための必要十分条件は、コーシー列であることである。
関数の極限値と数列の極限
定理12
という極限値が存在することの必要十分条件は、となる任意の数列に対してとなることである。
定理13
関数fが点aで連続であることの必要十分条件は、aに収束する任意の数列に対してとなることである。
【証明】
fは点aに対して連続なので、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、
をみたす。
また、数列はaに収束するので、δ>0に対して、ある自然数mが存在して、
よって、
である。
次に、逆を示す。
対偶法を用いるために、(1)を否定すると、
となるxが存在する。
ここで、
とし、n=1,2,・・・に応じて
すると、任意のnについて
よって、証明された。
(証明終)