数列の収束の復習２ [位相入門]
数列の収束の復習２
であるとき、数列
は単調増加数列という。
であるとき、数列は単調減少数列という。
集合
が上に有界なとき、数列は上に有界であるといい、集合が下に有界なとき、数列は下に有界であるという。
定理６ （単調数列の収束）
数列が単調増加かつ上に有界（単調減少かつ下に有界）ならばは収束する。
【証明】
上に有界な単調増加数列の場合について証明する。
数列は上に有界なので上限αをもつ（実数の連続性）。
上限の定義より、
（１） すべての自然数nについて、
（２） 任意の正数εに対して、
となる
が存在する。
したがって、n>mであるすべてのnについて、
よって、上に有界な単調増加数列は収束する。
（証明終）
定理７ （カントールの区間縮小法の原理）
閉区間
が
を満たすならば、
である。
さらに、
ならば、共通部分
とただ１点からなり、
である。
【証明】
条件
より、
である。
よって、数列は上に有界な単調増加数列、数列
は下に有界な単調減少数列となり、定理６より収束する。
とおくと、
より、α≦βである。
また、
なので、
である。
したがって、
である。
また、より、α=β。
とすると、すべての自然数nに対して
となるので、c=α。
よって、
（証明終）
φをNからNへの狭義単調増加関数（n₁<n₂ならばφ(n₁)<φ(n₂)とする。数列
が与えられたとき、数列
を数列の部分列という。
定理８ （部分列の収束）
収束する数列の部分列はの極限値に収束する。
すなわち、
【証明】
数列の極限値をαとすると、任意の正数εに対して、ある自然数mがあって、
である。
φ(n)≧nなので、
よって、収束する数列の部分列はの極限値に収束する。
（証明終）
定理９ （Boltano-Weiestrassの定理）
有界な数列は、収束する部分列をもつ。
コーシー列
数列が任意の正数εに対して、ある自然数pが存在し、n>p、m>pを満たす任意の自然数m、nに対して
が成り立つとき、はコーシー列であるという。
定理１０ （コーシー列の有界性）
コーシー列は有界である。
【証明】
数列はコーシー列であるとする。ε=1とすれば、ある自然数pが存在し、
となる。
m=p+1とすると、
となるから、
そこで、
とおけば、任意の自然数nに対して、
よって、数列は有界である。
（証明終）
定理１１ （コーシーの収束条件）
数列が収束するための必要十分条件は、コーシー列であることである。
関数の極限値と数列の極限
定理１２
という極限値が存在することの必要十分条件は、
となる任意の数列
に対して
となることである。
定理１３
関数fが点aで連続であることの必要十分条件は、aに収束する任意の数列
に対して
となることである。
【証明】
fは点aに対して連続なので、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、
をみたす。
また、数列はaに収束するので、δ>0に対して、ある自然数mが存在して、
よって、
である。
次に、逆を示す。
対偶法を用いるために、（１）を否定すると、
となるxが存在する。
ここで、
とし、n=1,2,・・・に応じて
をみたす点xをとり、それを
とし、数列をつくる。
すると、任意のnについて
となり、
であるが、
を満たさない。
よって、証明された。
（証明終）
2018-11-30 12:00
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