どうでもいい話

どうでもいい話

 

ddt³さんから突っ込みが来たので、どうでもいい話でもしますか。

 

直線y=xで折り返すと、xy平面上の点(x,y)は(y,x)に移されるよね。

この１次変換を表す行列Tは

　　

だにゃ。点(x,y)がTによって移される点を(x',y')で表すことにすると、

　　

になるにゃ。

さてさて、基本ベクトルをとすると、（本当は、これをe₁、e₂と太字の斜体字で表したいんだけれど・・・）

　　

とし、Tによって基本ベクトルが移されたものをとすると、

　　

となりまして、をこの順番で新しい座標系の基底ベクトルに選ぶと、座標系が右手系から左手系に変わってしまうんだケロ。

 

直線y=xだと、基底ベクトルが重なってわかりにくいので、原点を通る直線で折り返すことにすにゃ。

すると、

　　

となるケロ。

で、Tによってが移されるベクトルをで表すと、

　　

になる。

ちなみに、この２つのベクトルは、この内積を計算すると、

　　

となるので直交しているし、ベクトルの大きさはともに１だにゃ。

つまり、をもとに新たな直交座標系O-uvというものを構成することができる。

なのですが、この新しい座標系O-uvは通常の座標系O-xyとは異なり、左手系の座標系（これは、例えるならば、鏡の中の世界だね〜）になってしまう。（下図参照）

 

 

 

 

鏡といえば、鏡の国のアリス。そして、アリスといえば、これだケロ！！

 

 

 

 

話を元に戻そう。

ではあるのですが、の順番であらたな直交座標系O-vuを作れば、これは右手系の座標系になる。上の図を見ればこのことはすぐにわかるだろう。

そこで、

　　

という１次変換Sを設けると、これは

　　

という変換だから、

　　

ここで、θ=φ−π/2 とすると、

　　

となるので、

　　

となり、この変換は原点まわりの回転ということになるにゃ。

 

どうでもいい話でした。

 

しかし、ここで終わってはつまらない。

 

O-xy座標系からO-uv座標系への座標変換の式を求めてみよう。

点PのO-xy座標系での座標を(x,y)、O-uv座標系での座標を<u,v>としよう。

すると、

　　

となる。

　　

だから、これを代入すると、

　　

したがって、

　　

行列で書くと、

　　

したがって、

　　

この（１）と（２）が、それぞれ、O-uv座標系からO-xy座標系、そして、O-xy座標系からO-uv座標系への変換式ってわけ。

（１）、（２）式ともに

　　　　

になるんだケロ。

 

たぶん、間違えていないと思うが(^^ゞ

 

ここに書いているのは、直交座標系間の座標変換に基本中の基本だから、このやり方は知っておいたほうがいいケロよ〜。