点列の収束

点列の収束

 

自然数全体の集合Nから位相空間への写像

　　

をXの点列という。

点列の場合、n∈Nの像a(n)をであらわし、点列自体を、または単にで表す。

 

xの任意の近傍Uに対して、ある自然数m∈Nが存在して、n≧mならば、であるとき、すなわち、

　　

であるとき、点列はxに収束するといい、xを点列の極限点という。

また、点列がxに収束するとき、

　　

などであらわす。

 

【注意】

点列がx∈Xに収束するとき、と表すが、数列の極限値とは異なり、点列の極限点は必ずしも一意的に定まるわけではない。

たとえば、密着位相空間のとき、Xの任意の点列はXの任意の点に収束することができる。何故ならば、x∈Xとすると、xの近傍UはX自身しかないのででxの任意の近傍U=Xとなり、n≧1ならば、

　　

が成立するため。

 

 

定理１

ハウスドルフ空間においては、点列の極限点は、それが存在すれば、唯一つである。

【証明】

x≠yで、点列の極限点がx、yであるとすると

　　

を満たす。

m=max｛m₁,m₂｝にとると、

　　

となり、ハウスドルフ空間であることに反する。

よって、極限点が存在すれば、唯一つである。

（証明）

 

 

距離空間はハウスドルフ空間なので、定理１から次のことが成り立つ。

 

定理１の系

距離空間においては、点列の極限点は、それが存在すれば、唯一つである。

 

 

密着位相空間の点列の極限点が唯一つに限らないのは、Xの相異なる２点xとyを互いに交わらない開集合UとVでx∈U、y∈Vと分離できないため。

 

 

定理２

を位相空間、A⊂Xとする。

（１）　A内の点列がxに収束するならば、である。

（２）　が第一可算公理を満たすならば、各に対し、A内の点列でxに収束するものが存在する。

【証明】

（１）　 A内の点列がxに収束するので、任意のxの近傍に対して、ある自然数mが存在し、

　　

を満たす。

すると、

　　

であるから、

　　

よって、である。

 

（２）　とし、xの可算基本近傍系をとし、

　　

とする。

そして、とする。

Uをxの任意の近傍とすると、が基本近傍系であることより、ある自然数mがあって。

すると、n≧mならば、

　　

となる。

つまり、はxに収束するA内の点列である。

（証明終）