今日のアニソン、「ダンガンロンパ 希望の学園と絶望の高校生」から『Never Say Never』

今日のアニソンは、アニメ「ダンガンロンパ 希望の学園と絶望の高校生」から『Never Say Never』です。

アニメのタイトルが長すぎるにゃ。

［擬ベクトルの話］

［擬ベクトルの話］

　［問2］から［問4］まで直交行列、すなわち回転，回転，回転・・・で攻めたので、最後に擬ベクトルに関する無駄話を一つ(^^;)。

 

１．3次元で回転方向はどう定義すべきか？。

 

 

図-1

 

　じつは3次元では、図-1のように回転方向をとるのが標準なのです。z軸まわりとしてxy面内でx→y方向，x軸まわりとしてyz面内でy→z方向，y軸まわりとしてzx面内でz→x方向。

　xy面内でx→y方向とyz面内でy→z方向はいいですよね？。普通の左回りの角度の測り方(^^)。でも何故、zx面内ではz→x方向なんでしょう？(^^;)。というかそもそもなんでxz面っていわないの？。xz面内でx→z方向と回転方向を定義すりゃ、すっきりするのに・・・。

　じつは回転方向を、x→y，y→z，z→xで定義した方が便利なのです。

 

２．3次元の回転行列

 

 

　回転を表すためには、座標系の回転を考えるとわかりやすいです。例えば図-2は、x軸まわりの回転βを表します。この回転による点変換は、

　　 

(1)

 

 

ですよね？。xy平面内の回転がyz平面で起こっただけですよね？(^^)。

　ただしβは回転変位なので、(x，y'，z')系における座標ではなく、の回転で実際に点が行く先を、(1)は計算してます。y軸まわりなら、

 

　　 　　

　　(2)

 

 

です。ここでsinの符号が変わるのは、γ正方向をz→xに取るからです（x→zに取りたいところですが(^^;)）。

　z軸まわりなら見なれた形、

 

　　 

(3)

 

 

になります。

　そういう訳でz軸回りにα，y軸回りにγ，x軸回りにβ回転したなら、

 

　　
 

(4)

 

と書けます。

　・・・ところが行列の積って一般に非可換ですよね。って事は、(4)右辺の行列の積の順番を変えたら結果が変わる（じっさい変わります(^^;)）。z軸回りにα，y軸回りにγ，x軸回りにβ回転したのと、後半二つの回転を入れかえたz軸回りにα，x軸回りにβ，y軸回りにγ回転と、最初のを逆順に行った回転では、3通り全部結果が違う！。それどころか、z軸回りにα回転してからy軸回りにγ回転してからx軸回りにβ回転するのではなく、全部同時に起こるかも知れません。

　これらの事実は、本来は回転を(4)のように表すべきでない、という事を意味します。回転はあくまで回転軸が先にあり、その回りで回るです。しかし実用上多くの場合で微小回転を取り扱います。微小回転の場合、回転の順番は可換になります。

 

２．微小回転を定式化する

　Ｒを、n次元の直交行列（回転行列）でしかも微小回転を表すとします。n次元空間の一点を位置ベクトルxで表すと、xの移動先はＲxです。この回転はもちろん、原点を回転中心とした回転です。　

　　　

　　(5)

 

を考えると、Δxは回転による変位ベクトルを表します。Ｅは単位行列です。Ｒが微小回転を表すなら、Δxも微小でなければなりません。(5)で|x|は普通の大きさを持ってますから、これはε＝Ｒ－Ｅの成分が微小である事を意味します。εは微小な行列で、

　　 

(6)

 

と書けます。ここでＲは直交行列なので、Ｒ^-1＝Ｒ^t＝Ｅ^t＋ε^t＝Ｅ＋ε^tです。従って、

　　 

 

ですが、εε^tを2次の微小量という事で落とすと、

　　 

(7)

 

が得られます。(7)は、反対称行列の定義そのものです。すなわち、微小回転変位を与える行列εは、反対称行列です。また2つの微小回転ＲとＲ'を考えると、

　　
 

(8)

 

になるので（2次の微小項は落とす）、2つの微小回転の変位は、回転変位の和となり、微小回転の順番は可換です。

 

３．外積を導入する

　微小回転変位の行列εは反対称行列でした。そこで3次元で反対称行列とベクトルとの積を考えます。

 

　　 

(9)

 

 

　ここで反対称行列の成分a₁，a₂，a₃は任意ですから、3次元の反対称行列一般とベクトルとの積は、じつは外積で書けるのがわかります。外積とは3次元の微小回転を扱う上で、特に便利な省略記法だったのです。

　「3次元の」という限定を付けるのは、一般にn次元での反対称行列の独立な成分は、n＜(n²－n)/2となり、次元nに等しい成分を持つベクトル形式に略記できないからです。n＝3の場合は(3²－3)/2＝6/2＝3となり、3次元ではたまたま(9)が可能というだけです。外積の正体は、反対称行列とベクトルとの積です。その事をはっきり示すために、(9)の反対称行列を、

　　 

 

(a)

 

と略記します。

　3次元でx軸，y軸，z軸まわりの微小回転を表す(1)(2)(3)は、α→0のときcosα→1，sinα→αなどになる事に注意し、Ｅ分を除いて(a)の形に整理すると、

　　

 

 

(10)

へ化けるのがわかります。

　なんとも綺麗にまとまるじゃないですか！。i，j，kはx方向，y方向，z方向の単位ベクトルで、i×，j×，k×は(1)，(2)，(3)すなわち、x軸，y軸，z軸回りの回転に対応しています！(^^)。これがy軸まわりの回転では、z→x方向を正方向に選ぶ理由です。

　そうすると(4)は、α，β，γが微小な時、

　　 

 　

(11)

 

 

てな事になります。ただし外積の線形性を使いました。

　(4)と同様に(11)を、回転する前の点の座標(x，y，z)にかけましょう。

　　 

 

(12)

 

 

　(12)で(x'，y'，z')は、回転後の点の座標です。これと(x，y，z)との差が、回転によって起こった変位という事になります。

　　 

 

(13)

 

 

　(13)の右辺を見ると、「回転軸が(β，γ，α)の微小回転変位」という意味になってるじゃないですか！。このとき回転角の大きさωは、

　　 

 

という事になります。一方、

　　 

 

は、回転の腕の長さ（を、回転軸と腕の成す角θのsinθで割ったもの）です。微小回転変位の場合、変位はほとんど直線と変わらないので、微小回転角が、α，β，γに関する三平方の定理で与えられるのは妥当だと、すぐにわかります。

 

　最後に(13)の座標変換に対する変換性を調べます(^^)。

 

（次回に続く ）

（執筆：ddt³さん）