論理を使用する超〜初歩的な数学の問題 [お前らに質問]
論理を使用する超〜初歩的な数学の問題
問題 xとyを実数とするとき、
ならば、少なくともxとyの１つは1より大きいことを証明せよ。
お絵かきをすればこのことは明らかですが、お絵かきを証明と認めない数学の先生も多い。
そして、これを真正面から証明することは難しいかもしれない。
ってことは、あれだにゃ(^^)
「対位法」とよく似たネーミングの数学の証明法があったはずだにゃ。あれを使うにゃ。まぁ、背理法でもいいけれど・・・。
ただし、注意する点が一つある。「すくなくとも１つ◯◯である」の否定は、「すべて◯◯でない」だにゃ。
この言い方も誤解を招くか。
この命題は、
x>1をp、y>1をqで表し、結論を
とあらわすと、この否定は、
となり、したがって、「少なくともxとyの１つは1より大きい」の否定は、
「”x>1”でなく」、かつ、「”y>1”でない」
になる。
ペナルティー問題の解答例 [お前らに質問]
ペナルティー問題の解答例
まず、解答例を示す前に、お前らの罰を言い下すにゃ。
罰は「３時のおやつ３年分」をネムネコによこすように。
でなければ、お前ら全員まとめて「地獄流し」だにゃ。
ペナルティー問題
背理法は「p⇒q」を証明する代わりに
を用いて証明する方法である。
これらの命題は「pならばqである」と同値であることを証明せよ。
ここで、Oは恒偽命題を表す。
【解答例】
pならばq、すなわち、p⇒qは、
である。
また、
さらに、
（解答例終）
上の論理演算では、
さらに、
そして、恒偽命題の演算規則
などを使っている。
なお、恒偽命題は実数のゼロ０に該当するもの。
使用記号の説明をすると、「∧」は「かつ」、「∨」は「または」、「⇒」は「ならば」、文字（式）の上についている「バー」は「否定」を表す。
ddt³さんが公理（定理・法則）として取り上げた
は、論理計算をすると、
となる。
つまり、この推論は、pやqの真偽をにかかわらず常に正しい。
もっとうまい計算法があるかもしれないけれど・・・。
なお、ここで、Iは「常に真」である恒偽命題を表す。
すこし説明すると、
とおくと、
となり、これは無条件に真だケロ。
つまり、恒真ってわけ。
だって、この世界のすべての存在は「”ネムネコで無い”か”ネムネコ”」の２択だにゃ。
そして、
「この世界はネムネコ（とアリス）のために存在する」と同様に、排中律は宇宙の絶対の真理で、絶対に揺るがない！！
ところで、
がどこから出てくるかというと、
という命題の否定から出てくるんだケロ。
つまり、背理法は、
という矛盾を暗に利用しているというわけ。
ただし、
ddt³さんの話は二重否定やもろもろの論理法則成立以前の話だから、こうした論理計算は許されないにゃ。
ddt³さんの話は、これらの論理法則の基礎を与えるお話なんだよね。
男の子のプリキュア登場 「遂に…」ネットで話題 朝日 [ひとこと言わねば]
男の子もプリキュア――。人気アニメ「プリキュア」シリーズで初とみられる男の子のプリキュアが登場。ネット上で話題を呼んでいます。https://t.co/DUqx5J23Ba pic.twitter.com/zTPPdmI7yT
— 朝日新聞(asahi shimbun） (@asahi) 2018年12月2日
最新アニメですと「ベルゼブブ嬢のお気に召すまま。」に登場するダンタリオンだにゃ。ショタ、ショタ好きの女性をを前面に出しているにゃ。
【背理法と対偶関係】 [ddt³さんの部屋]
【背理法と対偶関係】
再び蒸し返しますか(^^;)。背理法と対偶関係は同じだと。ただし両者は厳密には違います。
以下、命題理論を手短にまとめます。ネコ先生は意味論っぽくまとめてますが（真理表）、自分は構文論的に行きます。そういうので学んだのと、そうやった方が多少とも代数的になると思うので。ただしここで醸すのは論理の雰囲気だけです。ここで論理を知ろうとは思わないで下さいね(^^;)。
論理は本来、数学で証明すべきものではないとも言えます。数学を始める以前に、それはやっとくべきものなのだと。なので以下で述べる事は、ある意味全て公理と考えてもらっても、そんなに間違いではないと思います。その最たるものが、
C1（三段論法）
Ａ，Ｂを命題とする。ＡとＡ⇒Ｂが成立するなら、Ｂが成立。
です。Cの略記号（たぶんフランス語）は、推論法則を表します（法則だから公理みたいなもの(^^;)）。
命題とはそこで扱う対象の間に成り立つ関係の事です（真偽は問わない）。命題を関係式と総称する本もあります。Ａが成り立つ事を、Ａが真と言う時もあります。
論理記号を導入します。「否定」を「～」，「または」を「ou」，「かつ」を「et」で表します。これらを用いるのは趣味です。自分がなれてるのと、IME辞書で出やすいので(^^;)。
定義1.
(～Ａ)ouＢを、Ａ⇒Ｂで略記する。
これは含意の定義ですが、ここではその実際上の意味（意味論）は述べません。
定義とは、省略記法の事です。ただそれだけです。例えば「Ａと(～Ａ)ouＢが成立するなら、Ｂが成立」を略記号⇒で表したのがC1です。この程度だと省略記法を用いてもあんまり変わりませんが、長い関係式では略記を使わないと、記述にメリハリがつかなくなり訳わかんなくなります。構文論と言っても、最後は意味ですからね(^^;)。
次の4つを、命題理論のシェマと言います。実際上は命題理論の公理なんですが、論理は数学を始める以前のものだという立場から、公理って言わないんだと思います。
(S1) (ＡouＡ)⇒Ａは真。
(S2) Ａ⇒(ＡouＢ)は真。
(S3) (ＡouＢ)⇒(ＢouＡ)は真。
(S4) (Ａ⇒Ｂ)⇒((ＣouＡ)⇒(ＣouＢ))は真。
定義2.
Ａet(～Ａ)が成り立つとき、その理論は矛盾すると言われる。
C2（連言の分離法則）
(ＡetＢ)⇒Ａと(ＡetＢ)⇒Ｂは真。
定義2.とC2から既に、次のC3を導けます。
C3（矛盾法則）
ある理論が矛盾すれば、その理論において全ての命題は真である。
［超数学的証明］
「超」をカッコつけて冠するのは、数学での証明でないという意識です(^^;)。
理論が矛盾すればその理論においては少なくとも一つの命題Ａで、Ａet(～Ａ)が成り立つ。C2とC1からＡと～Ａが真。～Ａが真なら(S2)より、
～Ａと(～Ａ)⇒((～Ａ)ouＢ)が真．
定義1.を使うと、
～Ａと(～Ａ)⇒(Ａ⇒Ｂ)が真．
C1より、
Ａ⇒Ｂは真．
Ａも真だったので再びC1で、
ＡとＡ⇒Ｂが真．
従ってＢが真。
よって矛盾する理論においては、任意の命題Ｂが真。
［超証明終］
たびたび［超数学的証明］や［超証明］と書くのはさすがに恥ずかしいので(^^;)、以降は（証明）と略記します。自分は数学の証明は［証明］で区別します。
C3は、どんな理論であれ矛盾してはアカンよ、と言ってます。矛盾したら理論は、いっきょに論証能力を失います。逆の意味で注目すべき結果が次ですが、ほとんど注目されません(^^;)。
C4（命題が真である事の構文論的定式化）
Ｂが真なら、任意の仮定Ａに対して、Ａ⇒Ｂが成り立つ。
（証明）
1) (S2)より、Ｂ⇒(Ｂou(～Ａ))は真。
2) (S3)より、(Ｂou(～Ａ))⇒((～Ａ)ouＢ)は真。
3) Ｂが真だから、1)とC1よりＢou(～Ａ)は真。
4) Ｂou(～Ａ)が真なら、2)とC1より(～Ａ)ouＢは真。
5) (～Ａ)ouＢとは、定義1.よりＡ⇒Ｂの事。従ってＡ⇒Ｂは真。
（証明終）
ある理論において命題Ｂが真とわかってしまったら、どんな仮定を立てようとＢが真である事実は変わらない、とC4は言ってます。正しい結論は、推論過程に無関係という事です
C3とC4は命題理論、別名論理的理論の存在論的意義を表していると思います。「存在論」などと安易に使うと、プロゲラさんに怒られそうですが(^^;)。
このように論理的証明は鬱陶しいです。鬱陶しいですが論理は、究極のバカチョン方式とも言えます。C1と(S1)～(S4)という一定の規則に従いさえすれば、仮定が真なら真と考えられる結果を必ず出せます。鬱陶しいが故に証明過程を検証できず、数々の詐欺の温床にもなる訳ですが(^^;)。
Cが「推論法則」の略記号という事には、象徴的な意味合いがあります。論理は命題の真偽には踏み込まないのです。例えば(S1)～(S4)の原始命題Ａ，Ｂ，Ｃの真偽に関わらず「(S1)～(S4)で表される関係は正しいのだ」というのが、命題理論のシェマの立場です。要するに論理とは、「推論の正しさだけ」を保証するものです。その典型が、次の「演繹法則」です。
C5（補助仮定の方法、または演繹法則）
ある理論でＡを仮定したときＢが真なら、Ａを仮定しない元の理論でＡ⇒Ｂが成り立つ。
これの（証明）は行いませんが、C5を頻繁に利用して理論は、成り立つべき関係式（命題）を無限に増殖させて行きます。C5を使って背理法を（証明）します(^^)。背理法は帰謬法とも言われるようです。
C6（帰謬法もしくは背理法）
ある理論で～Ａを仮定したとき矛盾するなら、～Ａを仮定しない元の理論でＡが成り立つ。
（証明）
1) ～Ａを仮定したときある理論が矛盾するなら、C3より、～Ａを仮定した理論では任意の命題が真だからＡが真。
2) 演繹法則C5より～Ａを仮定しない理論では、(～Ａ)⇒Ａが成り立つ。
3) (S4)より、((～Ａ)⇒Ａ)⇒((Ａou(～Ａ))⇒(ＡouＡ))は真。
4) 2)とC1から、(Ａou(～Ａ))⇒(ＡouＡ)は真。
5) （証明）はしませんが、C1と(S1)～(S4)を地道に運用すると、Ａou(～Ａ)が真である事を示せる。
6) 5)と3)とC1から、(ＡouＡ)は真。
7) (ＡouＡ)が真なら、(S1)から(ＡouＡ)⇒Ａなので、Ａが真。
8) この結論は2)以降、～Ａを仮定しない理論の中で得られたものだから、Ａは元の理論で成り立つ。
（証明終）
いやぁ～、鬱陶しい！。でもC6の効用として、次の自明でなければならない関係を導けます。
C7（二重否定法則）
(～～Ａ)⇒Ａは真。
（証明）
～～Ａを仮定し、Ａを導けば良い。そこで～Ａを仮定すると、これは矛盾。帰謬法C6よりＡが成り立つ。従って補助仮定の方法C5より、(～～Ａ)⇒Ａは真。
（証明終）
C7は納得できました？。たぶん納得できないと思うんですが、C7が妥当な理由は、結局はC3とC4の論理的拘束結果にあると思えます。だから論理という究極のバカチョン方式としては、なに一つ悪い事はしてないのですが、もう自分で感覚的に納得するしかないとも思えます(^^;)。
じつはC1と(S1)～(S4)の地道な運用により、Ａ⇒(～～Ａ)が導けます。よってC7によって、二重否定則：Ａ⇔(～～Ａ)が完成されます。
対偶関係も同様です。地道な運用で、(Ａ⇒Ｂ)⇒((～Ｂ)⇒(～Ａ))が導けるので、次のC8で対偶則は完成です：(Ａ⇒Ｂ)⇔((～Ｂ)⇒(～Ａ))。
C8（対偶関係）
((～Ｂ)⇒(～Ａ))⇒(Ａ⇒Ｂ)は真。
（証明）
1) 演繹法則C5を念頭に(～Ｂ)⇒(～Ａ)を仮定し、Ａ⇒Ｂを導く。
2) 同様にC5を念頭にＡ⇒Ｂを導くために、Ａを仮定し背理法を用いる。
3) ～Ｂを仮定すると、(～Ｂ)⇒(～Ａ)から～Ａが成り立つが、これは矛盾。
4) 従って帰謬法C6よりＢが成り立つ。
5) 2)～5)に演繹法則C5を適用すると、Ａ⇒Ｂが成り立つ。
6) 1)，5)に再びC5を適用すると、((～Ｂ)⇒(～Ａ))⇒(Ａ⇒Ｂ)が成り立つ。
（証明終）
ここまでの話をまとめると、背理法，帰謬法は証明の方法（推論法則）であって、対偶関係はそこから導かれる命題関係です。ただし対偶関係も推論法則ですから、それを利用した証明の方法もあり得る訳です。それを仮に対偶法と呼ぶと、(～Ｂ)⇒(～Ａ)からＡ⇒Ｂを導き矛盾を利用した証明法ではないので、背理法ではないという話にもなります。でもこの話、虚しくないですか？。じっさいC7もC8の（証明）にも、背理法C6が重要なポイントとして現れます。
背理法C6と二重否定則C7との関係を考えてみます。～Ａを仮定したとき矛盾するとすれば、～Ａでは変だって事です。なので正しいのは、～Ａのさらなる否定～～Ａであろうと。それは(～～Ａ)⇔ＡであるＡだったと。これを集合論的に解釈する事も可能です。
命題Ａの妥当する外延集合をaで表します。aの定義から、aに対して～Ａが妥当すると仮定したら矛盾です。aの補集合も～aで表す事にすれば、～Ａが妥当するのはaの定義から～aでなければならないからで
す。従ってＡが妥当するのは、～～a＝a。
対偶関係も同様に扱えます。Ａ，Ｂの妥当する外延集合をa，bとすれば、Ａ⇒Ｂはa⊂bという意味になります。a⊂bを補集合で考えれば、～b⊂～a。～b⊂～aは(～Ｂ)⇒(～Ａ)と同じです。
集合論的に解釈すれば、背理法と二重否定則が同じ状況を語っているのはほぼ明らかです。そこには補集合の関係がありました。対偶関係にも補集合の関係が本質的です。という事は、対偶関係C8を先に認めれば、背理法C6を逆に導けるだろうと予想できます。
C6'（帰謬関係もしくは背理関係）
対偶関係C8のもとでＡを仮定した時、～Ｂを仮定してＡと矛盾するなら、Ａ⇒ＢがＡを仮定しない理論で成り立つ。
（証明）
1) Ａを仮定する。
2) さらに仮定～Ｂを追加する。
3) 仮定～Ｂを追加すればＡと矛盾するから、定義2.より～Ａが真。
4) 2)，3)に演繹法則C5を適用し、～Ｂを仮定しない理論で(～Ｂ)⇒(～Ａ)が真。
5) 対偶関係C8より、Ａ⇒Ｂが真。
6) 1)，5)に演繹法則C5を適用し、Ａを仮定しない理論でＡ⇒(Ａ⇒Ｂ)が真。
7) 再びＡを仮定すれば、ＡとＡ⇒(Ａ⇒Ｂ)が真だから、Ａ⇒Ｂが真。
8) 仮定ＡのもとでＡ⇒Ｂが真なら、Ｂが真。
9) 7)，8)に再度演繹法則C5を適用すれば、Ａを仮定しない理論でＡ⇒Ｂが成り立つ。
（証明終）
上記が普通にやってる背理法ではないですか？。
［例題］
Ａ⇒Ｂを示せ。
［解法-1］
Ａが成り立つとき～Ｂを仮定すれば、(～Ｂ)⇒(～Ａ)なので～Ａも成り立つ。従って矛盾。
Ａ⇒Ｂでなければならない。
［解法-2］
(～Ｂ)⇒(～Ａ)が成り立つ。対偶をとれば、Ａ⇒Ｂ。
［解法-1］と［解法-2］のどこが違うんですか？。
