(1+1/n)^nの収束を示す問題 [数列と級数]
が収束することを示す問題
問題１ x>0のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし、nは、n>1の自然数である。
微分を使うならば、次のように解くのが一般的だろう。
【解答１】
とし、この関数の増減を調べるために微分すると
したがって、増減表は次のようになる。
よって、
ゆえに、
である。
（解答終）
微分を使いたくなければ、
に注目し、次のように解くことができる。
【解答２】
0<x<1のとき、
よって、
x=1のとき、0=0で等号成立。
1<xのとき、
よって、
以上のことをまとめると、
（解答終）
問題２
（１） 前問の不等式を用いて、
が単調増加列、
が単調減少列であることを示せ。
（２） 
であることを示せ。
【解】
（１） nをn>1の自然数、x>0とすると、
である。
を代入すると、
したがって、
よって、
は単調増加列である。
を代入すると、
よって、
したがって、
は単調減少列である。
（２） 
と、は上に有界な単調増加列だから収束する。
また、
だから、
よって、
である。
（解答終）
が収束することを示しているので、
としてもよいのでしょう。
よくまぁ、問題２の（１）のような、うまい方法を思いつくもんだと、ただただ感心するばかり。
この問題が出ていた本には、
と置けと書いてあるだけで、あとは何も書いていないんだけれど・・・。
