今日のアニソン、曲名がわからない(^^ゞ [ひとこと言わねば]
歌詞の方から検索したのだけれど、ヒットする曲名がなかったケロ。
知っているヒトがいたら、教えてほしいにゃ。
高校数学でおなじみのあの問題 [お前らに質問]
高校数学でおなじみのあの問題
縮小写像と少し違うけれど、
理系のヒトならば、中間値の定理の応用として、きっと次の問題を見たことがあるはず。大学入試の問題として出題されたこともあるようだし、問題集や参考書にも載っているに違いない問題だから。
問題 閉区間[a,b]で連続な関数f(x)について、a≦f(x)≦bであるならば、
となるcが[a,b]に存在することを示せ。
【解答例】
f(a)=aまたはf(b)=bならば、c=aまたはc=bをとればいい。
そこで、f(a)>a、f(b)<bとし、
という関数g(x)について考える。
f(x)とxは[a,b]で連続だから、g(x)は[a,b]で連続。
だから、中間値の定理より、
となるcが[a,b]に存在する。
（解答例終）
滑らかな曲線じゃないから、図が悪いって。
お前らは見るだけだからそんな勝手なことをほざくにゃ。
少しは図を作るオレの立場になってみろ！！
図があるだけありがたないと思うべきだにゃ。
だいたい、この問題には滑らかな曲線なんて条件はついていない。
だから、これで十分だにゃ。
さて、本題。
中間値の定理を使えばこのように解くことができるが、
お前らには、
中間値の定理を使わずこの問題を解いてもらおうじゃないか。
二分法なんか、この証明に使えるんじゃないか。
二分法
中間値の定理を使えないのだから、中間値の定理そのものを証明するしかあるまい！！
完備距離空間 [位相入門]
完備距離空間
を距離空間とする。
任意のε>0に対し、ある自然数pが存在し、任意の任意の自然数n、mに対して、
であるとき、点列
は基本列、コーシー列であるという。
距離空間の収束する点列は基本列、すなわち、コーシー列である。
点aをこの点列の極限点とすると、任意の正数ε>0に対して、ある自然数pが存在し、
とすることができる。
したがって、m,n≧pならば、
となるからである。
また、コーシー列は、有界である。
【証明】
をコーシー列とする。
コーシー列なので、ε=1に対して、ある自然数pが存在し、
とすることができる。
m=pと固定し、
とおけば、n≧pに対して、
、つまり、
となる。
ゆえに、
とおけば、
となる。
よって、は有界である。
（証明終）
距離空間の任意の点列が収束列であるとき、を完備距離空間であるという。
定理１
ユークリッド空間
は完備距離空間である。
を距離空間とし、fをXからXへの写像とする。正数c<1が存在して、Xの任意の２点x、yに対して、
が常に成り立つとき、fをの縮小写像という。
また、このとき、fは連続写像である。
x,y∈Xとし、yを固定すると、任意のε>0に対して、正数δを
をみたすように定めれば、任意のε>0に対して、
したがって、fは任意のy∈Xに対して連続となり、fは連続写像である。
定理２ （縮小写像の原理）
fを完備距離空間の縮小写像とすれば、
となる点（不動点）がただ１つ存在する。
【証明】
fは縮小写像だから、0<c<1であるcが存在し、
とすることができる。
Xの点x₁を任意に選び、
とおく。
自然数n,rに対して、
よって、点列は基本列である。
は完備であるから、の極限点aが存在する。
また、fは連続だから、
が成り立ち、これが不動点である。
次に不動点がただ１つであることを示す。
Xの点yが不動点あるとすれば、
となる。
また、d(a,y)≧0だから、
よって、不動点はただ１つである。
（証明終）
