「積分を利用して、不等式を導く」の問題の解答例 [微分積分]
「積分を利用して、不等式を導く」の問題の解答例
問題 積分を用いて、次の関係が成り立つことを証明せよ。
【解】
x>0とする。
は増加関数だから、0≦t≦xとすると、
である。
したがって、
【解答終】
という関係は、x>0のとき、[0,x]で
について平均値の定理を適用することで、証明することもできる。
平均値の定理から、
であるcが存在する。
0<c<xだから、
よって、
愚直に、
などと置き、これらを微分し、x>0のとき、
だから、f(x)、g(x)は狭義増加関数。
よって、
したがって、
としてもよいけれど、積分や平均値の定理を使ったほうがスッキリ証明できる。
では、宿題を一つ。
宿題 積分を利用して、次の関係が成り立つことを示せ。
御用納めの問題と問題提起 [微分積分]
御用納めの問題と問題提起
問題１
とする。
このとき、次の問に答えよ。
（１） x=0でf(x)が連続であることを示せ。
（２） f(x)はx=0で微分可能か。
【略解】
（１） x≠0のとき
x→0のとき、x²→0だから、ハサミ打ちの定理より
また、f(0)=0だから、
となるので、f(x)はx=0で連続である。
（２） h≠0とすると、
したがって、
となるので、f(x)はx=0で微分可能である。
（略解終）
x≠0のとき、
となるので、f(x)は(−∞,∞)で微分可能になる。
問題２ 問題１の導関数f'(x)はx=0で連続か。
この問題を受けて、さらに質問するにゃ。
の導関数
って、たとえば、[−1,1]で積分可能なのだろうか？
f'(x)は原点付近でこんなに激しく振動しちゃっているけれど、本当に、f'(x)は[−1,1]で積分できるんだろうか。
つまり、次の積分は存在するか？
ことわっておくが、次の定理はf'(x)の[−1,1]における積分可能性の根拠にならない。
定理
f(x)を[a,b]で連続とする。F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、
ならば、
である。
何故ならば、
は原点x=0で不連続だから！！
