「積分を利用して、不等式を導く」の問題の解答例

「積分を利用して、不等式を導く」の問題の解答例

 

問題　積分を用いて、次の関係が成り立つことを証明せよ。

　　

【解】

x>0とする。

は増加関数だから、0≦t≦xとすると、

　　

である。

したがって、

　　

【解答終】

 

 

　　

という関係は、x>0のとき、[0,x]で

　　

について平均値の定理を適用することで、証明することもできる。

平均値の定理から、

　　

であるcが存在する。

0<c<xだから、

　　

よって、

　　

 

愚直に、

　　

などと置き、これらを微分し、x>0のとき、

　　

だから、f(x)、g(x)は狭義増加関数。

よって、

　　

したがって、

　　

としてもよいけれど、積分や平均値の定理を使ったほうがスッキリ証明できる。

 

 

では、宿題を一つ。

 

宿題　積分を利用して、次の関係が成り立つことを示せ。

　　

 

 

さらに、もう一曲♪