積分を利用して、不等式を導く

積分を利用して、不等式を導く

 

問題　積分を用いて、次の関係が成り立つことを証明せよ。

　　

この問題を解ければ、

　　

を[0,x]で積分することによって

　　

さらに、これを積分し

　　

以下同様に積分を繰り返すことにより、

　　

という不等式を得ることができる。

 

 

さらに、我が臣民のためにこの曲を埋め込んでおこう。

音質が優れないので、コッチも埋め込んでおこう。

循環論法になるのだけれど、問題１の結果から、x>0のとき。

　　

x→0+0のとき、

　　

だから、ハサミ打ちの定理より

　　

また、x<0のときも、

　　

という関係は成り立つので（右図参照）、このときは、

　　

となり、

　　

から、

　　

この２つの結果を合せて、

　　

となる。

これは循環論法なので、⑨の証明にはならないけれど、高校のときに無証明で習ったこの公式が成り立つことを確かめることができた。