御用納めの問題と問題提起

御用納めの問題と問題提起

 

問題１

　　

とする。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　x=0でf(x)が連続であることを示せ。

（２）　f(x)はx=0で微分可能か。

【略解】

（１）　x≠0のとき

　　

x→0のとき、x²→0だから、ハサミ打ちの定理より

　　

また、f(0)=0だから、

　　

となるので、f(x)はx=0で連続である。

 

（２）　h≠0とすると、

　　

したがって、

　　

となるので、f(x)はx=0で微分可能である。

（略解終）

 

x≠0のとき、

　　

となるので、f(x)は(−∞,∞)で微分可能になる。

 

 

問題２　問題１の導関数f'(x)はx=0で連続か。

　　

 

 

この問題を受けて、さらに質問するにゃ。

 

　　

の導関数

　　

って、たとえば、[−1,1]で積分可能なのだろうか？

f'(x)は原点付近でこんなに激しく振動しちゃっているけれど、本当に、f'(x)は[−1,1]で積分できるんだろうか。

つまり、次の積分は存在するか？

　　

 

ことわっておくが、次の定理はf'(x)の[−1,1]における積分可能性の根拠にならない。

 

定理

f(x)を[a,b]で連続とする。F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、

　　

ならば、

　　

である。

 

何故ならば、

　　

は原点x=0で不連続だから！！

 

さらに、この曲を埋め込んでおこう。