積分についての簡単な（？）問題

お前らに、積分の簡単な問題を一つ出すにゃ。

 

問題　a<bとし、関数f(x)、g(x)は閉区間[a,b]で（リーマン）積分可能な関数とする。

　　

であるが、f(x)とg(x)は[a,b]で恒等的に等しくないものとする。すなわち、f≠g。

このとき、

　　

は成立するか。

成立するならば証明せよ。成立しないならば、反例を１つあげよ。

【ヒント】

（リーマン）積分可能な関数は、[a,b]で連続な関数とは限らない！！

 

では、

関数f(x)、g(x)は閉区間[a,b]で連続な関数としたらどうか。

　　

が成り立つならば、証明せよ。

【ヒント】

f≠gで、

　　

であるとき、

さすがに、

　　

は成立しない。

であるから、この条件のとき、

　　

が成立しないことを示せばよいだろう。

f(x)とg(x)は[a,b]で連続だから、h(x)=f(x)−g(x)も連続で、h(x)は[a,b]で恒等的に0に等しくなく、かつ、

　　

となる。

このとき、

　　

にならないことを示せばいいんじゃなかろうか。

さらに、出血大サービスで、

h(x)は恒等的に0に等しくなく、かつ、h(x)≧0という条件は、

　　

というcが存在すると言い換えることができる。

h(x)は連続なので、cの近傍（cがaまたはbであるときは片側近傍）で

　　

となるにゃ。

なお、δ>0だケロ。

 

これだけヒントを出してやったのだから、ちゃんと証明しろよな。