関数列の問題 [数列と級数]
関数列の問題
問題1 I=[0,1]のとき、が
で定義されるとする。
このとき、次の問に答えよ。
【解】
(1) x=0のとき、
なので、1に収束する。
0<x≦1のとき、になるようにnをとると、
なので、
したがって、
(2) はIで連続であるが、その極限関数f(x)がIで連続でないので、一様収束ではない。
(3)
また、
よって、
(解答終)
(2)のの一様収束か否かの判定には、次の定理1を使っている。
定理1
I上の連続関数列が関数f(x)に一様収束すれば、f(x)はI上で連続である。
また、
で、
だから、はIで一様収束でないとしてもよい。
問題2
とする。このとき、次の問に答えよ。
(1) [0,1]の各点で収束することを示せ。
(2) 一様に収束するか。
【解】
(1) x=0のとき、
だから、0に収束する。
0<x≦1のとき、
n→∞のとき2/nx→0なので、ハサミ打ちの定理より
よって、は[0,1]の各点でf(x)=0に収束する。
(2) の増減を調べるために、xで微分すると
したがって、x=1/nのときに、は最大。
したがって、
よって、
である。
(3)
また、
よって、
(解答終)
定理1の逆は一般に成り立たないので、
極限関数f(x)=0が[0,1]で連続だから関数列は[0,1]で一様収束
とするのは間違いなので、注意。
問題3
とする。このとき、次の問に答えよ。
(1) 関数列が[0,1]の各点で収束することを示せ。
(2) 一様収束か。
【解】
(1) x=0のとき、
0<x≦1のとき、1/n≦xとなるように自然数nをとると、
したがって、
よって、[0,1]の各点xでf(x)=0に収束する。
(2)
したがって、一様収束でない。
(3)
よって、
また、
だから、
は成立しない。
(解答終)